적어도 하나의 잘 정의 된 순환 하위 그룹 $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$, 프라임 $p$.

Question

다음 형식의 정수를 고려하십시오.

$\quad pq + 1, \text{where 0 } \lt q \le p $

해당하는 잔류 물 클래스 집합 $\{[pq + 1]\}$ 순환 적 질서 집단을 형성하다 $p$ 발전기 포함 $[p + 1]$.

예 : If $p = 11$ 그때 $12$ 순서의 순환 하위 그룹을 생성합니다. $11$ 에 $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$:

$\; {[12]}^1 \equiv \;\;\, 12 \pmod {121}$
$\; {[12]}^2 \equiv \;\;\, 23 \pmod {121}$
$\; {[12]}^3 \equiv \;\;\, 34 \pmod {121}$
$\; {[12]}^4 \equiv \;\;\, 45 \pmod {121}$
$\; {[12]}^5 \equiv \;\;\, 56 \pmod {121}$
$\; {[12]}^6 \equiv \;\;\, 67 \pmod {121}$
$\; {[12]}^7 \equiv \;\;\, 78 \pmod {121}$
$\; {[12]}^8 \equiv \;\;\,89 \pmod {121}$
$\; {[12]}^9 \equiv\; 100 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{10} \equiv 111 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{11} \equiv\;\;\;\, 1 \pmod {121}$

유클리드 나눗셈 (표현) 이론을 사용하여 위의 직접적인 증거가 있지만 다른 증거 (또는 링크 / 참조)를 보는 데 관심이 있습니다. 또한 위키 백과 링크

$\quad$ 모듈로 정수의 곱셈 그룹 $n$

주

... 프라임에도 불구하고 $n$ 생성기를 찾는 일반적인 공식은 알려져 있지 않습니다.

그래서 저는이 영역에서 이루어진 부분적인 진전에도 관심이 있습니다. ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$.

Answer 1

여기서 우리는 더 큰 순환 그룹을 '패턴 구성'합니다. $K_{2p}$ 에 의해 생성 된 $[p-1]$ 에 $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$ ...에 대한 $p \ge 5$.

그룹 $K_{2p}$ 있다 $2p$ 집단.

세트 $k = p-1$, 짝수 정수.

다음에서 시작하여 숫자 목록을 정의합니다. $p-1$ 그리고 증가 $2p$ 아래에 머물면서 $p^2 - 1$,

$\quad G_1: p-1, p-1+2p, p-1+4p, \dots, p-1+(k-1)p$

이제 추가 $p$ 두 번째 목록을 만들려면 각 번호에

$\quad G_2: 2p-1, 2p-1+2p, 2p-1+4p, \dots, 2p-1+kp$

그만큼 $\text{[.]}_{\, p^2}$ 숫자 집합의 나머지 $G_1 \cup G_2$ 정확히 $k$ 발전기 $K_{2p}$ 주문 $2p$.

계속해서 다음에서 시작하여 다른 숫자 목록을 정의합니다. $p+1$ 그리고 증가 $2p$
(동등하게, 추가 $2$ 모든 숫자에 $G_1 \cup G_2$),

$\quad H_1: p+1, p+1+2p, p+1+4p, \dots, p+1+(k-1)p$

이제 추가 $p$ 두 번째 목록을 만들려면 각 번호에

$\quad H_2: 2p+1, 2p+1+2p, 2p+1+4p, \dots, 2p+1+(k-1)p$

그만큼 $\text{[.]}_{\, p^2}$ 숫자 집합의 나머지 $H_1 \cup H_2$ 정확히 $k$ 요소 $K_{2p}$ 주문 $p$.

이후 $2p - 2k = 2$ 설명해야 할 두 가지 요소가 있습니다. $K_{2p}$. 하지만 그 두 가지 요소$\{[1],[p^2-1]\}$ 만족스러운 $x^2 = 1$.

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예 : $p = 11$ 적절한 하위 그룹 지정 $K_{22}$ 의 $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$.

질서의 요소 $22$ 구성하다

$\quad [10], [32], [54], [76], [98],$
$\quad [21], [43], [65], [87], [109]$

질서의 요소 $11$ 구성하다

$\quad [12], [34], [56], [78], [100],$
$\quad [23], [45], [67], [89], [111]$

질서의 요소 $2$ 구성하다

$\quad [120]$

질서의 요소 $1$ 구성하다

$\quad [1]$