적분을 계산하는 복잡한 분석

Question

I =$\int_\gamma \operatorname{Im}(z)\mathrm dz$

$\gamma$ 사이의 간격입니다 $\omega_1=0$ 과 $\omega_2=1+2\mathrm i$

위의 적분을 어떻게 계산할 수 있습니까? 이 질문에 대한 프로세스가 없습니다. 나는 ` 그것에 대해 미안 해요.

Answer 1

정의를 적용하십시오. $D\subseteq\mathbb C$, $\gamma:[a,b]\to D$ 부드러운 곡선의 매개 변수화이며 $f:D\to\mathbb C$, 다음

$$\int_\gamma f(z)\mathrm dz:=\int_a^b \gamma'(t) f(\gamma(t))\mathrm dt.$$

귀하의 경우에는 $\gamma:[0,1]\to\mathbb C,~\gamma(t)=(1+2\mathrm i)t$ 적절한 매개 변수화이고 $f(z)=\operatorname{Im}z$. 모든 것을 연결 :

$$\int_\gamma\operatorname{Im}z\mathrm dz=\int_0^1(1+2\mathrm i)\operatorname{Im}((1+2\mathrm i)t)\mathrm dt=\int_0^1(1+2\mathrm i)2t\mathrm dt.$$

나머지는 스스로 할 수 있다고 생각합니다.