적분을 풀기 위해 Parseval-Plancherel ID를 사용하는 것이 언제 가능합니까?

Question

적분은 다음과 같습니다. $\int_{-\infty}^\infty \sigma(x)\mu(x)\,\mathrm{d}x$. 푸리에 변환은$\sigma$ 기능은 $\tilde \sigma(p)= e^{-iap}\frac{1}{1+e^{-c|p|}}$ 및 기능 $\mu(x)$ ~에 의해 주어진다 $\mu(x)=-2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-2}{c}\right)$.

푸리에 변환 $\mu(x)$ 아주 쉽게 찾을 수 있습니다 $\tilde \mu(p)=\frac{e^{-i p} \left(2 i \pi e^{-\frac{c | p| }{2}}\right)}{p}$.

질문은 ~이야:

Parseval-Plancherel ID를 사용하고 위의 적분을 다음과 같이 쓸 수 있습니까? $\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^\infty \tilde\sigma(p)\tilde \mu(p)\,\mathrm{d}p$?

그렇다면 위의 적분은 $\frac{i}{2}\int_{-\infty}^\infty dp \frac{ e^{-i (a+1) p} \text{sech}\left(\frac{c p}{2}\right)}{p}$

푸리에 변환처럼 보이는 $\frac{sech(\frac{cp}{2})}{p}$함수. 이 푸리에 변환은 어떻게 계산됩니까?

Answer 1

푸리에 변환의 정체성을 상기하십시오. $K(x)=\text{sech}(x)$ 이다 $\tilde K(p)=\pi \text{sech}\left(\frac{\pi p}{2}\right)$.

이 신원을 사용하여 푸리에 변환 $\frac{\text{sech} {x}}{x}$ 쉽게 계산할 수 있습니다.

\ begin {equation} \ int _ {-\ infty} ^ {-\ infty} e ^ {-ixp} \ frac {\ text {sech} {x}} {x} \, \ mathrm {d} x = -i \ int \ pi \ text {sech} \ left (\ frac {\ pi p} {2} \ right) \ mathrm {d} p = -2 i \ tan ^ {-1} \ left (\ sinh \ left ( \ frac {\ pi p} {2} \ right) \ right) \ label {ident} \ end {equation}

이 관계식을 사용하면 주어진 적분을 쉽게 통합 할 수 있습니다.

\ begin {equation} \ frac {i} {2} \ int _ {-\ infty} ^ \ infty dp \ frac {e ^ {-i (a + 1) p} \ text {sech} \ left (\ frac { cp} {2} \ right)} {p} = \ tan ^ {-1} \ left (\ sinh \ left (\ frac {\ pi (\ Lambda_h + 1)} {| c |} \ right) \ right ) \ label {rest} \ end {equation}

숫자로 답을 확인합니다. 플롯 : 상수 a 플롯 상수 c