적분의 글로벌 섹션 $k$-scheme은 유한 필드 확장입니다. $k$

Question

다음을 표시하려고합니다. $X$ 필수품이다 $k$-계획, $k$ 필드 다음 $O_X(X)$ 유한 필드 확장입니다 $k$.

나는 그것을 보여주는 데 성공했다 $O_X(X)$ 필드이지만 유한 필드 확장이어야하는 이유를 모르겠습니다.

(전역 섹션 s가 모피 즘에 해당하는 필드를 사용했습니다. $X \to \operatorname{Spec} k[x]$, 이미지가 닫힌 지점임을 보여줄 수 있으므로 $s \neq 0$ 기약 할 수없는 다항식이 있습니다 $g \in k[x]$ 그런 $g(s)=0$이므로 뒤집을 수 있습니다.)

적절한 형태를 위해 cohomology / Grothendieck의 유한성 결과를 사용하는 것을 피하고 싶습니다. 비슷한 질문이 여기에 있었지만 나는 가정하지 않습니다$X$ 기하학적으로 적분입니다.

Answer 1

해결책은 의견에서 해결되었습니다. 적분 방식의 구조 뭉치에 대한 제한 맵은 주입식이므로$O_X(X)$ 에 삽입 $O_X(\operatorname{Spec} A)=A$ ...에 대한 $\operatorname{Spec} A$ affine open subscheme의 $X$. 허락하다$\mathfrak{m}$ 최대 이상이되다 $A$. 그때$O_X(X)\subset A$ 교차하지 않는다 $\mathfrak{m}$, 그래서지도는 $O_X(X)$ 그 이미지에 $A/\mathfrak{m}$주사입니다. 그러므로$O_X(X)$ 유한 유형 체계의 잔류 필드에 포함 $k$, 이러한 모든 잔여 필드는 유한 확장입니다. $k$ Zariski의 보조제에 의해.