점에서 그려진 두 접선 사이의 각도 찾기 $(0, -2)$ 곡선으로 $y=x^2$

Question

점에서 그려진 두 접선 사이의 각도 찾기 $(0, -2)$ 곡선으로 $y=x^2$.

이것은 나의 시도 :
하자$P(\alpha, \beta)$ 곡선의 한 점이됩니다. $$\therefore \beta = \alpha^2$$ $$\frac{dy}{dx}\quad \text{at}\quad P(\alpha,\beta) = 2\alpha$$ P에서의 탄젠트 방정식 : $2\alpha x-y=2\alpha^2-\beta \Rightarrow2\alpha x-y = 2\alpha^2 -\alpha^2$ $$\Rightarrow2\alpha x -y -\alpha^2 =0$$ A / Q $(0, -2)$ 이 방정식을 포화시켜야합니다. $\therefore 2\alpha\times0 - (-2) - \alpha^2 = 0\Rightarrow\alpha^2=2$ $$\therefore\alpha=\pm\sqrt2$$ $$\Rightarrow\beta=2$$ 이제이 값을 입력하여 기울기를 찾습니다.$(m)=\frac{dy}{dx}=2\times\pm\sqrt2$ $$\therefore m = +2\sqrt2\quad and\quad -2\sqrt2$$ 우리는 $\theta$= 선 사이의 각도와 $m_1\quad\&\quad m_2$ 선의 기울기 : $$\tan{\theta} =\big|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\big|$$ $$=\big|\frac{2\sqrt2-(-2\sqrt2)}{1+2\sqrt2\times-2\sqrt2}\big|= \big|\frac{4\sqrt2}{1-8}\big|=\frac{4\sqrt2}7$$

내 대답이 책과 일치하지 않습니다. 이 책은 매우 감사 한 책이므로 틀릴 수 없습니다. 내 솔루션에서 오류를 찾을 수 없습니다. 책은 대답을 다음과 같이 설명합니다.$$\pi - 2\arctan\sqrt8$$

편집 : 이 책은 실제로 대답을 다음과 같이 설명합니다.$\pi - 2\arctan\sqrt8$. 나는 2를 볼 수없는 장님이었다 .

Answer 1

나는 당신의 책에 두 가지 실수가 있다고 생각합니다.

첫째, $\theta$ 접선 사이의 각도에 대해 말하고 접선의 세그먼트에 대해서는 말하지 않기 때문에 예각이어야합니다. $\pi-\arctan\sqrt8>\frac{\pi}{2}.$

또한 귀하의 답변 $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}$ 사실이고 심지어 $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}\neq\arctan\sqrt8$.

수리 후 우리는 $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=\frac{4\sqrt2}{7},$$ 사실입니다 $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=-\frac{2\cdot\sqrt8}{1-(\sqrt8)^2}=\frac{4\sqrt2}{7}.$$

Answer 2

이미 파생했듯이 $x$-곡선에있는 두 점의 값은 다음과 같습니다. $-\sqrt2$ 과 $\sqrt2$ (각각 $y$-값 $2$).

"오른쪽 접선"을 살펴 보겠습니다. $\big($...에서 $(+\sqrt2,2)$$\ big) $ . 접선의 기울기가 $ 2 \ sqrt2 = \ sqrt8 $ 이므로 $ x $- 축과이 접선 사이의 각도 는 $ \ arctan \ sqrt8 $ 입니다. 따라서 접선과 $ y $- 축 사이의 각도 는 $ {\ pi \ over2}-\ arctan \ sqrt8 $ 입니다. 마지막으로,이 각도의 두 배는 두 접선 사이의 각도이며 실제로 $ \ pi-2 \ arctan \ sqrt8 $ 입니다.