정규 직교 기반 이미지의 경계 합은 경계를 의미합니다.

Question

이것은 Conway의 "기능 분석 과정"문제 II.1.3의 문제입니다. 가정$E = \{e_n\}$ 힐베르트 공간에 대한 정규 직교 기반 $H$ 과 $A$ 선형지도입니다. $H \to K$ (어디 $K$ 또한 Hilbert 공간입니다) $\sum_n \| Ae_n\| < \infty $. 보여줘$A$ 제한됩니다.

나는 그 진술이 일반적으로 거짓이라고 믿는다. 허락하다$H=l^2(\mathbb{N})$ 과 $K = \mathbb{R}$. 우리는 확장 할 수 있습니다$E$ 하멜 기준으로 $E'$ 그런 $\|e\| = 1$ 모든 $e \in E'$. 허락하다$(f_n)$ 열거 가능한 하위 집합 $E' \setminus E$. 그런 다음 설정$Ae_n = 2^{-n}$, $Af_n = n$ 과 $Ae = 0$ ...에 대한 $e \in E' \setminus (E \cup (f_n))$ 무한 연산자를 생성합니다. $H$. 내 추론이 맞습니까?

Answer 1

귀하의 예는 좋습니다. 그러나 운동은 당신이 무엇을 요구하는지 묻지 않습니다. 그것을 보여주기 위해$A$고유 한 경계 확장이 있습니다. 귀하의 예제는 무제한 확장을 생성합니다. 그것은 제한된 존재의 존재를 배제하지 않습니다.

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Answer 2

귀하의 증명은 정확하지만 Hilbert 공간은 셀 수있는 Hamel 기반을 가질 수 없다는 것을 명시 적으로 언급해야합니다 (사소한 결과가 아님). 그것이 당신의 시퀀스가$(f_n)$ 존재합니다.