정사각형의 오일러 특성은 무엇입니까? (Gauss-Bonnet 정리와의 혼동)
여기에서 고등학생은 오일러 특성, 가우시안 곡률 및 이들을 함께 연결하는 가우스-보넷 정리에 대해 배우려고합니다.
Gauss-Bonnet 정리 : 총 곡률 $= 2 \pi \times$ 오일러 특성.
여기에 내 혼란이 있습니다. 정사각형 (예 : 평평한 종이)은 가우스 곡률이 0입니다. 그러나 공식을 따르면$\chi = V - E + F$, 정사각형의 오일러 특성은 $1$.
이것은 꼭지점이 $V = 4$, 가장자리 $E = 4$ 그리고 얼굴 $F = 1$. 따라서$\chi = 4 - 4 + 1\Rightarrow \chi = 1$.
그래서 나는 방정식을 얻습니다 $0 = 2\pi 1$, 즉 $0 = 2\pi$.
내 실수는 어디에 있습니까?
답변
첫 번째 어려움은 사용중인 것으로 보이는 Gauss-Bonnet 정리의 버전이 경계가없는 콤팩트 2- 매니 폴드 용이라는 것입니다. 구는 경계가없는 콤팩트 한 2- 다양체입니다. 큐브의 경계 (가장자리를 따라 붙은 6 개의 사각형)는 경계가없는 콤팩트 한 2- 다양체입니다. 정사각형 (꼭지점과 가장자리가 매니 폴드의 일부라고 말했기 때문에 닫혀 야 함)는 경계 가있는 콤팩트 한 2- 다양체 입니다 .
다양체를 설명 할 때 일반적으로 "경계없이"는 생략됩니다. 하나는 일반적으로 "경계 있음"을 포함합니다. 매니 폴드의 기본 상태에는 경계가 없습니다.
경계가있는 소형 2- 매니 폴드 용 Gauss-Bonnett 버전이 있습니다. $$ \int_M K \,\mathrm{d}A + \int_{\partial M} k_g \,\mathrm{d}s = 2 \pi \chi(M) \text{,} $$여기서 첫 번째 적분은 표면 위의 가우스 곡률이고 두 번째 적분은 경계 의 측지 곡률 입니다.
닫힌 사각형은 닫힌 디스크의 동종입니다. 닫힌 디스크의 경계는 원입니다. 디스크 원 경계의 측지 곡률은 곡선이 원과 비슷한 방식으로 얼마나 가까이 있는지를 측정합니다 (가우스 곡률은 표면이 구와 비슷한 방식으로 얼마나 가까운지를 측정하는 것과 같습니다). 물론 원은 하나의 원이하는 것과 똑같이 닫히므로이 적분은$2\pi$ 닫힌 디스크 또는 닫힌 사각형을 공부할 때 왼쪽에 있습니다.
(여기에 미묘한 차이가 있습니다. 측지 ( "고유") 곡률과 특정 임베딩으로 인한 "외부"곡률을 쉽게 통합 할 수 있습니다. 우리는 나선의 많은 회전을 따라 우리의 원을 포함 할 수 있습니다. 시작했다.이 삽입은이 많은 곡률을하지만 원은 원입니다 ...)
덜 중요한 어려움은 사각형을 특정 방식으로 삽입 할 때만 평평하게 보인다는 것입니다. 평평하지 않은 튜브로 정사각형을 구부릴 수 있습니다 . 이 튜브를 구부려서 끝이 만나도록 할 수도 있습니다.
정사각형에 위쪽과 아래쪽 가장자리를 함께 붙인 다음 [*] 두 개의 새 원을 함께 붙이면 컴팩트 2- 다양체 (경계 없음)가됩니다. 이 개체는 토러스 입니다. 접착으로 인해 정사각형의 4 개 정점이 모두 하나의 정점에 접착되고 정사각형의 반대쪽 가장자리 쌍이 함께 접착되었습니다. 결과에는 하나의 정점, 두 개의 모서리 및 하나의면이 있으며 오일러 특성은 0이고 총 곡률은 0입니다.
이 0은 평평한 사각형에 대해 예상했던 것입니다. 우리의 임베딩이 가우시안 곡률을 0으로 만들기 위해 토러스의 모든 "곡률"을 보여야한다는 것은 놀랍습니다. 그러나 모든 "곡률"은 외적인 곡률입니다.
[*] 우리는이 접착 방법에 대해주의해야합니다. 첫 번째 가장자리 쌍의 경우 뫼비우스 스트립이 아닌 고리 를 얻기 위해 접착해야합니다 . 원의 접착을 위해 첫 번째 접착과 같은 방식으로 접착하면 원환 체를 얻습니다. "다른 방법으로"접착하면 Klein 병 이 생깁니다 . 물론 곡률이 일정한 Klein 병은 평평 하므로 가우시안 곡률도 0입니다.
GB 정리의 성취는 표면의 전체 곡률을 연관시키는 것입니다. $S$ 그것은 약간의 곡선에 의해 경계 $c$ (i) 토폴로지 $S$, 및 (ii) 곡률 "따라 $c$". 경계가없는 닫힌 서피스의 경우"곡률이 $c$"항은 결국 0이됩니다. 따라서 우리는 총 곡률 사이의 관계를 얻습니다. $S$ 및 토폴로지 $S$ --- 당신이 GB 정리로 인용하는 것.
경계가있는 곡면의 경우 경계를 따라 곡률을 포함해야하며 경계에 "코너"가있는 경우 "곡률"도 포함해야합니다. 세 가지 종류의 곡률을 보게됩니다.
경계의 "모퉁이"에서의 곡률, 즉 0 차원 사물
경계의 호를 따라 곡률, 즉 1 차원 사물
표면 내부의 곡률, 즉 2 차원 물체
그리고 이들의 일종의 합계는 결국 세 종류의 토폴로지 객체와 관련됩니다.
0 차원 사물 (정점)의 개수
1 차원 사물 (가장자리)의 개수
2 차원 사물 (얼굴)의 개수
두 합계 사이에 흥미로운 대칭을 제공합니다.
공식을 작성하지 않겠 습니다. 올바른 방향을 설정 하려면 방향 을 올바르게 설정해야하므로 개인적으로 텍스트가 아닌 칠판이 필요한 작업입니다. 그러나 곡률에 대한 0 차원 기여는 정점에서 "외부 각도"입니다. 그리고 내가 가장 좋아하는 "내가 기억할 수 있도록 주머니에 넣어"예제는 지구 표면의 삼각형으로 구성됩니다.
북극 $N$하나의 정점입니다. 가장자리는 영국 그리니치를 통해 지점까지 확장됩니다.$G$적도에. 다른 하나는 과테말라 (경도 90W)를 통해 한 지점까지 확장됩니다.$A$적도에. 그리고 적도의 90도 호는$A$ ...에 $G$삼각형을 완성합니다. 3 개의 정점, 3 개의 모서리, 하나의면이 있으므로$V-E+F = 1$. 이것이 토폴로지 측면입니다. "지오메트리 측면"에서 구의 전체 곡률은 다음과 같습니다.$4\pi$, 그래서이 삼각형은 $1/8$ 구의 전체 곡률이 $\frac12 \pi$. 삼각형의 각 가장자리는 측지선이므로 표면을 따라 곡률이 없습니다. 그리고 각 꼭지점에서 외부 각도는 90 도입니다.$\pi/2$, 총 $3\pi/2$정점에서. 표면 곡률을 더하고 가장자리 곡률 (0)을 빼면$2\pi$, 실제로 $2\pi (V - E + F)$, 예상대로.
이 삼각형이 아주 작아 질 때까지 축소하면, 예를 들어 종이에 맞추면 표면 곡률 항은 본질적으로 0으로 떨어지고 세 외부 각도는 모두 $2\pi/3$, 그래서 다시 합계는 $2\pi$.