제품 계획의 라인 번들
허락하다 $k$ 필드가되고 $X$ 완전히 다양하다 $k$, $V$ 개방형 $X$, $Y$ 계획을 세우다 $k$. 가정$L$ 라인 번들입니다 $V\times Y$. 만약$L|_{V\times\lbrace y\rbrace}$ 라인 번들로 확장 $X\times\lbrace y\rbrace$ 모든 폐쇄 지점에 대해 $y$ 의 $Y$, 라인 번들은 $L$ 연장해서, 확장해서 $X\times Y$?
더 강한 조건, 즉 모든 펑터가 가정되면 어떨까요? $\phi\colon\operatorname{Pic}(V\times Y) \to \operatorname{Pic}(V)$ (여기 $\operatorname{Pic}$ Picard 펑터를 나타냄), 라인 번들 $\phi(L)$ 의 위에 $V$ ~로 확장 $X$. 않습니다$L$ ~로 확장 $X\times Y$?
편집하다: $X$ 부드러움, 즉 매끄럽고 완전한 다양성이라고 가정합니다.
답변
새로운 기여자를 환영합니다. 이것은 사실이 아닙니다.$X$부드럽습니다. 한 가지 예는$X$ 과 $Y$ 내 이전 예에서.
허락하다 $X$ 부드럽고 기하학적으로 연결된 속의 투영 곡선 $g>0$. 허락하다$f:X\to Y$ 단일 노드로 노드 곡선의 정규화 $p$ 그것은 $k$-합리적 포인트. 예를 들어$Y$ 절점 평면 사분면이 될 수 있습니다. $X$ 정규화 (속 $3$곡선). 의 전상이$\{p\}$ 에 $X$ 분할됩니다. 즉, $\{r',r''\}$ ...에 대한 $k$-합리적 포인트 $r',r''$ 의 $X$.
허락하다 $V$ 의 공개 보완 $\{r',r''\}$ 에 $X$. 제한의 그래프 형태를 나타냅니다.$f$ ...에 $V$ 다음과 같이 $$\Gamma:V\to V\times Y.$$ 이 그래프 형태의 이미지는 까르띠에의 주요 제수입니다. $V\times Y$. 표시$L$ 뒤집을 수있는 뭉치 $V\times Y$ 이 까르띠에 제수와 연관됩니다.
이 까르띠에 제수의 철수는 $V\times X$ 까르띠에 제수로 확장됩니다. $X\times X$. 그러한 모든 확장은$$D_{c',c''} = \underline{\Delta} + \text{pr}_1^*\left(c' \underline{r'} + c''\underline{r''}\right).$$
이러한 확장 된 까르띠에 제수 각각에 대해 $X\times \{r'\}$ 이상 $X\times \{r''\}$합리적으로 동등하지 않습니다. 실제로 만약 그렇다면$\underline{r'}$ 과 $\underline{r''}$ 합리적으로 동등하므로 속 $g$ 같음 $0$. (이것은 긍정적 인 속의 부드러운 곡선으로 작업 한 이유입니다.)$X\times X$부드럽기 때문에 까르띠에 제수의 합리적 등가 클래스 그룹에서 피카드 그룹으로의 동형은 동형입니다. 따라서 모든 뒤집을 수있는 뭉치$X\times X$ 그것의 철수를 확장 $L$ 비 동형 제한이 있습니다. $X\times\{r'\}$ 이상 $X\times\{r''\}$. 따라서 각 확장 된 가역 뭉치$X\times X$뒤집을 수있는 뭉치의 풀백에 동형 이 아닙니다 .$X\times Y$.
편집 . 위의 예에서 모든 Zariski 커버에 대해$Y'\to Y$, 동일한 결과가 유지됩니다. 하지만 étale 표지가 있습니다$Y'\to Y$ 뒤집을 수있는 뭉치가 확장되도록 $X\times Y'$. 예를 들어, étale 표지 후에도 그러한 확장이없는 경우$X\to Y$마디 곡선의 정규화, 타구 곡선의 정규화라고합시다. 그런 다음 동일한 구조가 뒤집을 수있는 뭉치를 제공합니다.$L$ 의 위에 $V\times Y$ 모든 étale 표지에 대해 $Y'\to Y$, 가역 뭉치의 확장이 없습니다. $X\times Y'$.