증거 : 완벽한 정사각형이 아님
허락하다 $y$정수 여야합니다. 증명
$$(2y-1)^2 -4$$
완벽한 사각형이 아닙니다.
이 질문을 별도의 수학 책에서 발견하고 질문을 두 부분으로 나누어 해결해 보았습니다.
$$y = 2k , y = 2k + 1$$
그러나 그것은 나를 어디에도 가지지 못했습니다.
답변
모순을 위해 쓰기 $(2y-1)^2-4=n^2$ 어디 $n$정수입니다. 동등하게$$4=(2y-1-n)(2y-1+n).$$ 두 요소의 차이점은 $2n$, 즉 심지어. 고려하는 유일한 방법$4$ 짝수에 의해 다른 요인은 $(-2)\cdot(-2)$ 과 $2 \cdot 2$, 두 경우 모두 불가능합니다. $n=0$ 과 $(2y-1)^2=4$.
홀수 제곱은 $1 \pmod 4,$그러나 그것은 그것보다 더 구체적입니다. 홀수 사각형은$1 \pmod 8.$ 이것을 제곱하여 확인할 수 있습니다. $1,3,5,7$ 다음으로 나눌 때 나머지를 찾으십시오. $8$. 특히 사각형은 절대$5 \pmod 8.$ 너의 $(2y-1)^2 - 4 \equiv 5 \pmod 8$ 사각형이 될 수 없습니다.
다음을 가정하십시오.
$$(2 y - 1)^2 - 4 = a^2$$
일부 $a$.
그때
$$(2 y - 1 + 2)(2 y - 1 - 2) = (2 y + 1)(2 y - 3) = a^2$$
여기서 가져올 수 있습니까?
각 변의 소인수 분해에 대해 생각해보십시오.
에 대한 $y\le-1$, $(2y-1)^2-4$ 연속 된 사각형 사이에 있음 $(2y)^2$ 과 $(2y-1)^2$.
에 대한 $y\in\{0,1\}$, $(2y-1)^2-4$ 음수이므로 정사각형이 아닙니다.
에 대한 $y\ge2$, $(2y-1)^2-4$ 연속 된 사각형 사이에 있음 $(2y-2)^2$ 과 $(2y-1)^2$.
$(2y-1)^2-4=4(y^2-y)-3$ 완벽한 사각형이라면 $=c^2$, 여기서 c는 정수입니다. 해결$y$ 에 $4(y^2-y)-3-c^2=0$ 그리고 얻다 $y=\frac{4\pm \sqrt{16+16(3+c^2)}}{8}=\frac{1\pm \sqrt{4+c^2}}{2}$.
하나 $c^2+4$ 정사각형이 될 수 없습니다. $c=0$ (어디 $y$정수가 아님). 취하다$c^2+4=b^2$ 그래서 $b=c+a$ 와 $(c+a)^2=c^2+2ac+a^2$. $2ac+a^2=4$가능한 정수 솔루션이 없습니다. ($a=1$ LHS는 이상합니다. $a\gt 1$ LHS $\gt 4$).
따라서 가능한 정수가 없습니다. $y$.
$(2y-1)^2 - 4 = (2y-1)^2 - 2^2 = (2y-1+2)(2y-1-2) = (2y+1)(2y-3)$
참고 $2y+1$ 과 $2y-3$항상 고유 한 정수입니다. 따라서 그들의 제품이 정사각형이 될 수 없음을 증명하는 것은 그들이 코 프라임 (공통 소인수 없음) 이고 동시에 두 제곱이 아니라는 것을 보여줌으로써 달성됩니다 .
$\mathrm{gcd}(2y+1, 2y-3) =\mathrm{gcd}(2y+1, (2y+1)-(2y-3)) = \mathrm{gcd}(2y+1, 4) = 1$(마지막 부분은 하나는 홀수이고 다른 하나는 짝수임을 사소하게 관찰하는 것입니다). 그 후$2y+1$ 과 $2y-3$ 코 프라임입니다.
이제 둘 다 $2y+1$ 과 $2y-3$ 차이가 이상하다 $4$. 두 홀수 제곱의 최소 차이는 다음과 같습니다.$3^2 - 1^2 = 8$. 따라서 둘 다 정사각형 일 수는 없습니다.
따라서 $(2y+1)(2y-3) = (2y-1)^2 - 4$ 사각형이 될 수 없습니다.
또 다른 증거 : WLOG는 $y>0$. 연속 된 두 숫자의 제곱의 차이를보십시오.$1, 3, 5, 7$, 등등. 따라서 4의 차이를 얻는 유일한 방법은 2 ^ 0-0 = 1 + 3입니다. $2y-1$ 이상하다.
두 사각형의 차이 $a^2$ 과 $b^2$ 와 $a^2< b^2$ 최소 5 인 경우 $|b|$ 3 이상입니다.
따라서 남은 것은 직접 확인하는 것입니다. $(2y-1)^2 =0,1,4$. 그리고$2y-1$ 이상하다, 사실 만 $2y-1=1$.