증명 $2^{n-1}(a^n+b^n)\geq(a+b)^n$ [복제]

Dec 03 2020

나는 주어진 알고리즘 목적을 증명하려고 $a,b,n$ 양의 정수 : $$2^{n-1}(a^n+b^n)\geq(a+b)^n$$ 나는 귀납법으로 시도했고 다음과 같은 단계를 얻었습니다. $$2^{n}(a^{n+1}+b^{n+1})\geq^?(a+b)^{n+1}$$ 이항 확장을 사용해 보았습니다. $(a+b)^n=\sum^n_{k=0} {{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}$ 마지막 요소를 제외하고 $$(a+b)^{n+1}=\sum^{n+1}_{k=0} {{n+1}\choose{k}}a^kb^{n-k+1}=\sum^{n}_{k=0} {{n+1}\choose{k}}a^kb^{n-k}b+{{n+1}\choose{n+1}}a^{n+1}b^0$$$$=\sum^{n}_{k=0} (n+1){{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}b+{{n+1}\choose{n+1}}a^{n+1}b^0=[(n+1)b]\sum^{n}_{k=0}{{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}+{{n+1}\choose{n+1}}a^{n+1}b^0$$$$=[(n+1)b](a+b)^n+a^{n+1}\leq[(n+1)b]\times2^{n-1}(a^n+b^n)+a^{n+1}$$ 지금까지 모든 것이 정확하다고 가정하면 거기에서 진행하는 방법을 알지 못합니다. $\leq 2^n(a^{a+1}+b^{n+1})$

두 번째 시도는 다음과 같은 단계를 수행하는 것입니다. $$2^{n-1}(a^n+b^n)\geq(a+b)^n \setminus\cdot(a+b)$$ $$2^{n-1}(a^n+b^n)(a+b)\geq(a+b)^{n+1}$$ $$2^{n-1}(a^{n+1}+b^{n+1}+a^nb+b^na)\geq(a+b)^{n+1}$$ 이제 제거하는 방법을 모르겠어요 $a^nb+b^na$, 및 계속하려면 $2^n$

이것을 증명할 다른 방법이 있습니까? 아니면 내 발걸음을 계속하기위한 힌트가 있습니까?

답변

Vlad Dec 03 2020 at 10:48

재배치 불평등에서 다음과 같은 결과가 있습니다. $$a^n+b^n\geq a^i\cdot b^{n-i}+a^{n-i}\cdot b^i$$

$$(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a^ib^{n-i}\leq\frac{a^n+b^n}{2}\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}$$

정확히 당신이 원하는 것입니다