증명 $e^n\bmod 1$ 밀도가 높다 $[0,1]$

Question

나는 이전의 여러 부분으로 된 질문 의 한 부분을 답하지 않은 채로 남겨두고 별도로 다시 질문 하기로 결정했습니다.

순서를 고려하십시오 $e^n\bmod 1$, $n\in\Bbb N$. 밀도가 있음을 보여줍니다.$[0,1]$.

이것은 분명히 특정 (근사치?) 속성을 요구합니다. $e$, 예를 들어 교체 $e$모든 정수를 사용하면 밀도가 낮은 시퀀스가됩니다. 반면에 모든 일련의 숫자에 대해$a_n\in(0,1)$, 찾기 어렵지 않습니다 $\alpha$ 그런 $|\alpha^{2^n}\bmod 1- a_n|<\frac1n$ 모든 $n$, 또는 $\beta$ 그런 $|\beta^n\bmod 1-a_n|<\frac1{1000}$. 따라서 조밀 한 시퀀스로 이어지는 (비이성적 인) 염기와 비 조밀 한 시퀀스로 이어지는 다른 염기가 있습니다. 그 외에는 막 다른 골목에 있습니다.

Answer 1

나는 내 자신의 작품이 아니라 주로 인용문 이었음에도 불구하고 코멘트를 답변으로 바꾸라는 요청을 받았다. 분수 부분이$\{\theta^n\}$ 밀도가 높을뿐만 아니라 거의 모든 곳에 균일하게 분포되어 있습니다. $\theta$. 아이러니는 모든 개인에게$\theta$, 우리는 거의 알지 못합니다. 인용하자http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/bessatsu/open/B34/pdf/B34_009.pdf

예를 들어, 우리는 $\displaystyle \lim\{e^{n}\}=0$,어디 $\{x\}$ 실수의 소수 부분입니다. $x$. 경우에$\alpha$ 초월적인 숫자이기 때문에 일반적으로 그 순서를 증명하기는 어렵습니다. $\{\alpha^{n}\}(n=0,1, \ldots)$ 두 개의 다른 한계점이 있습니다.

따라서 초월 적 숫자에 대해서는 희망이 거의 없습니다. $e$, 대수에 대한 결과 $\theta$정확히 놀랍지도 않습니다. 우리는 조만간 약간의 진전이 있기를 희망합니다.