증명 확인 : 완료된 여과의 경우 $\mathcal{F}_{t}^{B}$ 연속적입니다. $B$ 표준 브라운 운동입니다
허락하다 $B$ 표준 브라운 운동 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb P)$ 그리고 더하자 $(\mathcal{F}_{t}^{B})_{t \geq 0}$ 관련된 자연 여과 $B$ 그런 $\mathcal{F}_{t}^{B}$ ...에 대한 $t \geq 0$모든 널 세트를 포함합니다. 여과가 연속적임을 보여줍니다.
내 접근 방식 :
사소하게, 우리는 $\mathcal{F}_{t}^{B}\subseteq \mathcal{F}_{t+}^{B}$.
이제 "$\mathcal{F}_{t+}^{B}\subseteq \mathcal{F}_{t}^{B}$", 우리는 이것이 유지되지 않는다고 가정합니다.
우리가 고른다 $A \in \mathcal{F}_{t+}^{B}\setminus \mathcal{F}_{t}^{B}$ 그리고하자 $N$ 다음과 같은 널 세트 $B$ 계속된다 $\overline{\Omega}:=\Omega\setminus N$
그런 다음 시퀀스를 구성 할 수 있습니다. $(\varepsilon_{n})_{n \in \mathbb N}\subseteq(0,\infty)$ 와 $\varepsilon_{n}\downarrow 0$ 같이 $n \to \infty$ 그런 $A$ 이다 $B_{t+\varepsilon_{n}}-$ 모든 측정 가능 $n \in \mathbb N$.
더욱이 $B$ 계속된다 $A\setminus N_{A}$ 어디 $N_{A}$ 일부 null 집합이므로 $A\setminus N_{A}$ 이다 $B_{t+\varepsilon_{n}}-$ 모든 측정 가능 $n \in \mathbb N$, 우리는 $A\setminus N_{A}$ 그 $B_{t+\varepsilon_{n}}\xrightarrow{n \to \infty} B_{t}$ 따라서 $A \setminus N_{A}$ 반드시 $B_{t}$측정 가능. 그 후$A = (A \setminus N_{A} )\cup N_{A}$ 이다 $B_{t}$-의미하는 측정 가능 $A \in \mathcal{F}_{t}^{B}$ 이것은 초기 가정과 모순됩니다.
내 증명이 맞습니까? 개선 사항이 있습니까?
답변
(나는 축약 할 것입니다 $\mathcal F^B_t$ ...에 $\mathcal F_t$등)
당신은 그것을 보여줄 필요가 있습니다 $$ E[G\mid\mathcal F_{t+}] = E[G\mid\mathcal F_{t}]\qquad\qquad(\dagger) $$ 각 경계에 대해 $\mathcal F$-측정 가능 $G$. 이 작업이 완료되면$A\in\mathcal F_{t+}$ 그리고 받아 $G=1_A$. 그런 다음 ($\dagger$)는 다음을 의미합니다. $1_A=E[1_A\mid\mathcal F_{t+}] =E[1_A\mid\mathcal F_t]$ 왜냐하면 $\mathcal F_t$ 모든 null 집합이 포함되어 있습니다. $A$ 이다 $\mathcal F_t$-측정 가능. 따라서$\mathcal F_{t+}\subset\mathcal F_t$.
정체성 ($\dagger$)는 (i) 브라운 운동 경로의 (오른쪽) 연속성 및 (ii) 브라운 운동의 고정 독립 증분의 결과입니다.
고치다 $t>0$. 모노톤 클래스 정리에 따르면 ($\dagger$) $G$ 형태의 $H\cdot K_t$, 어디 $H$ 경계가 있고 $\mathcal F_{t}$-측정 가능하고 $$ K_u:=\prod_{i=1}^m f_i(B_{u+s_i}-B_u),\qquad u\ge 0, $$ 어디 $m$ 양의 정수입니다. $s_i$ 엄격하게 양수이고 $f_i$경계가 있고 연속적입니다. 그것을주의해라$u\mapsto K_u$ 연속적이며 $u\mapsto E[K_u]$일정합니다. 또한,$K_u$ 독립적이다 $\mathcal F_u$ 앞서 언급 한 독립적 인 증분 때문입니다.
이제 이벤트 수정 $C\in\mathcal F_{t+}$. 허락하다$\{t_n\}$ 한계가있는 엄밀히 감소하는 실수 시퀀스 $t$. 그때$$ \eqalign{ E[1_C\cdot G] &=E[1_CHK_t]=\lim_{n\to\infty}E[1_CHK_{t_n}]\cr &=\lim_{n\to\infty}E[1_CH]\cdot E[K_{t_n}]\cr &=E[1_CH]\cdot E[K_{t}]\cr &=E[1_CH]\cdot E[K_0]\cr &=E\left[1_CH\cdot E[K_0]\right]. } $$ (세 번째 평등은 $C\in \mathcal F_{t_n}$, 및 $K_{t_n}$ 독립적이다 $\mathcal F_{t_n}$.)이 계산은 $E[G\mid\mathcal F_{t+}]=H\cdot E[K_0]$, 즉 $\mathcal F_t$-측정 가능. 따라서 ($\dagger$) 다음과 같습니다.
먼저: $(\mathcal{F}_t^B)_{t\geq0}$ 연속적이지 않다 $t=0$.
브라운 운동의 경우에는 $B_0=0$ 당신이 그것을 얻을 때 $$ \mathcal{F}_0^B = \sigma(\{\emptyset,\Omega\}\cup \mathcal{N}) $$ 그러나 $$\mathcal{F}_t^B = \mathcal{B}(\mathbb{R}),\quad t>0$$ 어디 $\mathcal{N}$측정 값의 null 집합입니다. 또한 볼 이 바로 연속되지 filtrations 다른 질문을.
증명의 문제는 브라운 운동의 연속성이 측정 가능성을 의미하지 않는다는 것입니다. $A\setminus N_A$ wrt $B_t$.