제약 조건 $\rho(x, y) = |x - y|^d$ 삼각형 부등식을 충족

Question

순전히 대수적 수단으로 증명할 수 있습니까? $\rho(x, y) = |x - y|^d$ 삼각형 부등식을 충족하지 않음 $\rho(x, y) \leq \rho(x, z) + \rho(z, y)$ ...에 대한 $d = 2$? 그리고 어떤 제약 하에서$x, y, z$불평등을 만족 시키는가? 이유를 알아 보려고$\rho$ 유효한 측정 항목이 될 수 없습니다. $\mathbb R$.

보너스 질문 : 다른 가치에 대해 $d \in \mathbb R$ 않습니다 $\rho$ 삼각형 부등식을 충족하지 않습니다.

Answer 1

불평등은 다음과 같습니다. $(a+b)^{d} \leq a^{d}+b^{d}$ ...에 대한 $a, b \geq 0$. 퍼팅$a=b=1$ 우리는 그것을 본다 $2^{d} \leq 2$. 그 후$d \leq 1$필수 조건입니다. 어떠한 것도$d \in (0,1]$불평등이 유효합니다. 이것은 다음을 관찰함으로써 증명 될 수 있습니다.$(a+b)^{d}-a^{d}-b^{d}$ 기능 감소 $a$ 그리고 때 사라집니다 $a=0$.

언제 $d<0$, $|x-y|^{d}$ 정의되지 않은 경우 $x=y$ 따라서 메트릭을 생성하지 않습니다. $d=0$ 당신에게 남겨졌습니다.