지도를 엄격하게 들어 올리는 방법 $Sp \rightarrow Sp$ 등변 스펙트럼에 대한 스펙트럼의?

Nov 16 2020

이것은 Thomas Nikolaus, Peter Scholze, On topological cyclic homology , arXiv : 1707.01799의 III.1에서 테이트 대각선을 이해하려는 시도에서 부분적으로 동기를 부여 받았습니다 . 제 이해를 정확하게하고 싶습니다.

특정 목표 :

어떻게지도 (III.1) $T_p: Sp \rightarrow Sp$ $$ X \mapsto (X \otimes \cdots \otimes X)^{tC_p}$$엄격하게 정의됩니다. 내가 정의 할 수있는 것 :지도를 정의 할 수 있음$$ Sp \rightarrow Sp^{\times n} \rightarrow Sp$$ $$ X \mapsto (X,\ldots, X) \mapsto X \otimes \cdots \otimes X $$ 모노 이드 구조 사용 $Sp^\otimes$ 스펙트럼의.

질문 어떻게 이것을지도로 엄격하게 들어 올리는가$Sp^{BC_p}$? (테이트 펑터 적용 가능$(-)^{tC_p} : Sp^{BC_p} \rightarrow Sp$. )

편집 :이 목표에 대한 내 질문의 대부분은 아래 답변에서 해결되었습니다 (모두 좋은 답변입니다). 여전히 다음과 같은 혼란이 있습니다.

(Maxime의 표기법에 따라) 부가 물에 대한 공식을 어떻게 증명합니까? $$ U:Sp^{BG} \rightarrow Sp:Ind, CoInd $$"건망증"/ "포함"의? 여기서 Ind와 CoInd는 각각 왼쪽과 오른쪽이 인접합니다. 즉$$ \bigoplus_g X \simeq UInd X $$ $$ U CoInd X \simeq ?? $$

특히 계산에 대해 혼란 스럽습니다. $CoInd(Sp) \simeq Sp^{\times n}$.

답변

6 MaximeRamzi Nov 16 2020 at 18:58

허락하다 $C$ 완전하다 $\infty$-범주.

허락하다 $U:Fun(BC_n,C)\to C$ 건망증을 나타내는 펑터, $\mathrm{CoInd}$ 그것의 오른쪽 인접, 그리고 $(-)^{triv}$ 사전 구성에 의해 주어진 펑터 $BC_n\to *$.

그런 다음 우리는 표준 동등성을 가지고 $U(X^{triv})\to X$ 부가 적으로지도를 생성합니다. $X^{triv}\to \mathrm{CoInd}(X)$ 그것은 $C_n$-등변 성.

이것을 적용 $C= Cat_\infty$ 과 $X=Sp$ 산출 $C_n$-등변 성지도 $Sp \to \mathrm{CoInd}(Sp)$. 지금$\mathrm{CoInd}(Sp) = Sp^{\times n}$ 순열 작업으로.

지금 $Sp$ 정규적으로는 교환 모노 이드로 볼 수 있습니다. $Cat_\infty$, 즉, 특정 유형의 펑터 $Fin_*\to Cat_\infty$, 우리는 분명히 제한 할 수 있습니다. $Fin$ 얻기 위해 $Fin\to Cat_\infty$, 비공식적으로 제공 $n\mapsto Sp^{\times n}$.

특히, 우리는 $\Sigma_n$-등변 성지도 $Sp^{\times n}\to Sp$ 스매시 제품에 해당하고 $\Sigma_n$ 의 위에 $Sp^{\times n}$ 순열 작업으로 제한 $C_n$

보편적 인 경우를 다루면이를 증명할 수 있습니다.

확실히 동의하는 또 다른 방법은 $CAlg(Cat_\infty)$, 제품 및 부산물은 동의합니다. 즉, 전 첨가이므로 유도 및 공동 유도가 동의합니다. 특히 당신은 무료로 얻을$C_n$-등변 성지도 $\mathrm{CoInd}(Sp)\to Sp$ (에서 $Sp\to U(Sp^{triv})$) 스매시 제품에서도 제공됩니다.

어쨌든, 둘 다 $Sp\to Sp^{\times n}$ 과 $Sp^{\times n}\to Sp$ 아르 $C_n$-등변 성

왼쪽 칸 확장 공사 가 작동 하지 않습니다 . 따라 연장되는 왼쪽 칸$*\to BG$ 건망증 펑터에 인접 해 있습니다. 즉, 인덕션입니다. 건망증 맵으로 구성하면 다음과 같이 보입니다. $\bigoplus_{g\in G}$, 그래서 칸을 떠나면 확장 $X\mapsto X\otimes ... \otimes X$, 당신은 얻을 것이다 $\bigoplus_{g\in C_p}X\otimes... \otimes X$, 순열 작업이 없습니다.

Harry가 이미 지적했듯이 부수적 인 질문에 대한 대답은 "예"입니다. 포함에는 왼쪽과 오른쪽이 모두 인접 해 있으며 특히 제한과 공동 제한이 유지됩니다.

4 HarryGindi Nov 16 2020 at 17:52

나는 실제로 몇 달 전에 (Denis Nardin의 힌트와 함께) 이것을 해결했고 내 친구에게 보내는 메시지에 이것을 썼습니다.

SymmMonCat을 코 카르테 시안 모노 이드 구조를 가진 대칭 모노 이드 범주로 간주합니다. 나는 나 자신을 위해 세부 사항을 채웠다. SymmMonCat 자체는 대칭 적 단일 구조, 공 카르 테스 대칭 적 단일 구조를 가지고있다. 모든 대칭 단일형 범주는이 대칭 단일형 범주에서 부산물에 대한 대수입니다. 펑터 Δ ^ 0 → SymmMonCat으로 개체 C를 선택합니다. SymmMonCat에는 유한 한 부산물이 있으므로 펑 터는 펑터 FinSet → SymmMonCat까지 확장됩니다. BΣ_n × Δ ^ 1 → FinSet을 어제 맵으로 지정합니다. 그런 다음 BΣ_n × Δ ^ 1 → FinSet → SymmMonCat을 구성하면 등변 폴드 맵을 분류하는 화살표 Δ ^ 1 → SymmMonCat ^ {BΣ_n}을 얻습니다. 마지막으로 우리가 원하는 화살표를 얻으려면 제한 펑터 SymmMonCat ^ BΣ_n → SymmMonCat을 사용하여 합성을 가져옵니다. 이것은 우리가 원하는 것을 수행하는지도 C → C ^ {BΣ_n}을 분류하는지도 Δ ^ 1 → SymmMonCat을 제공합니다.그것은 극심한 세부 사항입니다. 부족한 점은 BΣ_n- 등변 성인 SymmMonCat의 객체 C에 대한 접기 맵을 고려하는 것입니다. 그런 다음 동형 고정 점을 수평으로 취하십시오.

여기에서 순환 버전으로 이동하는 것은 분명합니다 (제한에 따라지도를 얻으려면 표준 순열 표현을 고려하십시오). 더 자세히 설명해도 괜찮지 만이 순간을 구체화 할 시간이 없습니다.

편집 : 오, 또한 신비한지도 $BΣ_n\times \Delta^1\to FinSet$ 전송하는지도에 해당하는지도입니다. $0$ ...에 $\langle n \rangle$ 명백히 $\Sigma_n$-액션 및 1 ~ $\langle 1 \rangle$ 사소한 $\Sigma_n$-동작. 원뿔을 통해 정식으로 인수하는지도입니다.$B\Sigma_n \star \Delta^0\to FinSet$.

또한 예, ∞- 카테고리에 ∞-groupoid를 포함하면 왼쪽 및 오른쪽 인접이 모두 있습니다 (왼쪽 인접은 '모두 반전'이고 오른쪽 인접은 코어 ∞-groupoid를 사용합니다).

4 DylanWilson Nov 16 2020 at 19:06

사용하려는 기술의 양에 따라 여러 가지 방법이 있습니다.

이를 수행하는 한 가지 방법은 $\infty$-유한 제품이있는 카테고리에서 교환 모노 이드 객체의 카테고리, $\mathsf{CMon}(\mathcal{C})$, 다음과 같이 계산할 수 있습니다. $\mathsf{Fun}^{\times}(\mathsf{Span}(\mathrm{Fin})^{op}, \mathcal{C})$-즉 $\infty$-제품 보존 프리 시브의 카테고리 $(2,1)$-유한 집합의 범위 범주, 값은 $\mathcal{C}$. (예를 들어, Nardin 논문의 Theorem 6.5 참조https://arxiv.org/pdf/1608.07704.pdf보다 일반적인 맥락에서 증명하기 위해; 본질적으로 증명은 제한에서 유한 한 뾰족한 집합으로 확장되는 오른쪽 칸에 의한 것입니다.) 자,$\mathrm{Map}_{\mathsf{Span}(\mathrm{Fin})}(\bullet, \bullet)$ 그런 다음 유한 집합의 그룹 형태이며 특히지도를받습니다. $\mathrm{B}\Sigma_n \to \mathrm{Map}_{\mathsf{Span}(\mathrm{Fin})}(\bullet, \bullet)$. 이제 가져가$\mathcal{C}=\mathsf{Cat}_{\infty}$ 그리고 functor를 고려하십시오 $J \mapsto \mathsf{Sp}^{\times J}$ 대칭 단일 구조에 의해 주어진 $\mathsf{Sp}$. 우리는 다음을 얻습니다.$\mathrm{B}\Sigma_n \to \mathrm{Map}_{\mathsf{Span}(\mathrm{Fin})}(\bullet, \bullet) \to \mathrm{Map}_{\mathsf{Cat}_{\infty}}(\mathsf{Sp}, \mathsf{Sp})$. 펑터와 똑같아$\mathsf{Sp} \to \mathsf{Sp}^{\mathrm{B}\Sigma_n} = \mathsf{Sp}^{h\Sigma_n}$, 그것은 당신이 추구하는 것입니다 (당신은 $n=p$ 및 제한 $C_p$ 네가 원한다면).

하지만 스팬에 대한 사실을 사용하고 싶지 않을 수도 있습니다. 괜찮아. DAGXIII에서 섹션 2.2의 시작 부분부터 접근 방식을 따를 수 있습니다 (https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/DAG-XIII.pdf). 요점은 이것이다 :$\mathcal{D}$ 대칭 모노 이드입니다. $\infty$-범주, 즉 교환 모노 이드 / 대수 객체 $\mathsf{Cat}_{\infty}$, 그러면 자동으로 functor를 얻습니다. $\mathrm{Sym}(\mathcal{D}) \to \mathcal{D}$자유 교환 대수 객체에서. 자유 교환 대수 객체는 다음과 같이 계산됩니다.$\coprod \mathcal{D}^{\times n}_{h\Sigma_n}$. 제한$n$th summand는지도를 제공합니다 $\mathcal{D}^{\times n}_{h\Sigma_n} \to \mathcal{D}$ 펑터를 다듬는 $(X_1, ..., X_n) \mapsto X_1\otimes \cdots \otimes X_n$. 우리는 그것을 펑터로도 볼 수 있습니다.$\mathcal{D}^{\times n} \to \mathcal{D}$ 에 $\mathsf{Fun}(\mathrm{B}\Sigma_n, \mathsf{Cat}_{\infty})$(colimits를 취하는 것은 상수 다이어그램 펑터에 인접하기 때문에). 반면에 대각선지도도 있습니다.$\mathcal{D} \to \mathcal{D}^{\times n}$ 적용하여 얻은 $\mathrm{Fun}(-, \mathcal{D})$ ~로 $\Sigma_n$-세트의 등변 성 맵 $\{1, ..., n\} \to \bullet$이므로 $\Sigma_n$-등변 성. 작곡 제공$\mathcal{D} \to \mathcal{D}^{\times n} \to \mathcal{D}$ 와 함께 $\Sigma_n$-원하는 것을하는 등변 성 구조.