직관적으로 이해하는 방법 $n$차원이 커짐에 따른 차원 큐브 [중복]
본인은 그래서 * 이 볼록 몸, 즉 큐브$[-1,1]^n$ 에 $\mathbb{R}^n$, 그것을 포함 하는 가장 작은 공 에는 반경이 있습니다.$\sqrt{n}$, 큐브 내부 의 가장 큰 공 에는 반경이 있습니다.$1$.
또한,
"... 차원이 커짐에 따라 입방체는 점점 더 공처럼 생겼습니다."
이러한 것들을 어떻게 시각화합니까? $n\geq 4$? 나는 그것을 볼 수 없습니다!
여기에 관련된 직관에 도움을받을 수 있다면 좋을 것입니다. 감사!
* 2 페이지 참조
Keith Ball, "현대 볼록 기하학에 대한 기본 소개"in Flavors of Geometry , Silvio Levy ed., Cambridge 1997.
편집 : 제안 된 답변은 매우 좋지만 내 질문에서 관심있는 특정 기하학적 구조를 다루지 않는다고 생각합니다.
답변
더 높은 입방체와 구체를 시각화 할 수 있다고 생각하는 이유는 무엇입니까? 에 대한$n=4$ 어떤 종류의 시간 슬라이더를 사용하여 개체와 개체의 교차점을 그리는 것과 같은 게임을 할 수 있습니다. $xyz$-하이퍼 플레인,하지만 $n>4$ 이러한 종류의 해킹은 금방 사용할 수 없게됩니다.
당신이 인용 한 것과 같은 사실 뒤에 있는 직관 은 직관이 아니라 계산 이다. 어떤 의미에서 수학은 2, 3 또는 심지어 4 차원 공간에 대한 우리의 직관을 기반으로 구축됩니다. 즉, 대부분의 정의가이 저 차원 세계에서 무언가를 모방한다는 것을 의미합니다. 그러나 정의는 차원이 본질적이지 않다는 점에서 훨씬 더 일반적이므로 더 높은 차원에서 수행하는 작업을 알아 내려고 노력하는 것이 좋습니다 (다양체에 대한 생각). 충분한 일이 무너지기 시작하기 때문에 그곳에서 무슨 일이 일어나고 있는지 볼 수 없다는 것은 유감입니다. 매니 폴드는 부드럽 지 않거나 여러 개의 고유 한 부드러운 구조를 가지며, 분류 결과는 얻을 수 없으며 구체는 뾰족 해지고 계산 상 다소 이질적으로 보이고 동작하기 시작합니다. 한 가지 예를 들자면 : Poincare 추측은 밀레니엄 문제 중 하나였습니다 (즉, Riemann 가설 또는$P$ vs $NP$) 약 $3$-분야. 더 높은 기하학은 어렵습니다 .
반면에 이것은 추상 수학에 대한 전체적인 재미입니다. 작은 사례 모음에서 파생 된 직관적 인 정의는 곧 더 이국적이지만 흥미로운 사례를 가질 수있게되었고, 이는 정의를 더욱 흥미롭고 연구 할 가치가있게 만듭니다.