직교 행렬을 찾을 수 있습니까? $V\in M_n(\Bbb R)$ 성 $A=VDV^T$ 열에 비례하지 않는 열 $U$?
허락하다 $A\in M_n(\Bbb R)$ (엄격하게)보다 작은 대칭 행렬 $n$고유 한 고유 값. 이후$A$ 대각선이 가능하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다. $A=UDU^T$ 어디 $U\in M_n(\Bbb R)$ 직교하고 $D\in M_n(\Bbb R)$ 대각선입니다.
질문:
직교 행렬을 찾을 수 있습니까? $V\in M_n(\Bbb R)$ 성 $A=VDV^T$ 적어도 하나의 열이 $V$ 열에 비례하지 않습니다. $U$?
내 생각:
사실보다 적다고 생각합니다 $n$ 고유 한 고유 값은 그러한 것을 찾을 수 있음을 보장합니다. $V$그렇지 않으면 불가능합니다.
이하가 있기 때문에 $n$ 고유 한 고유 값, 고유 공간이 있습니다. $E_{\lambda'}$ 고유 값에 해당 $\lambda'$ 성 $\dim\left(E_{\lambda'}\right)=k\geqslant 2$.
허락하다 $\{e_1,\ldots,e_k\}$ 고유 공간에 대한 정규직 교 기초 $E_{\lambda'}$ 그리고 하나의 평면을 관찰합시다 $\Bbb R^n$ 예를 들어, $M=\operatorname{span}\{e_1,e_2\}$.
허락하다 $f_1=\frac{e_1+e_2}{\left\|e_1+e_2\right\|}$. 그때$f_2\in M$ 다른 단위 벡터 (같은 평면에 있음)입니다. $f_1\perp f_2$.
실제로 Gramm-Schmidt 를 다음과 같이 작성된 임의의 기준에 적용 할 수 있습니다.$\{\alpha e_1+\beta e_2,\gamma e_1+\delta e_2\},\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\Bbb R$.
회전하여도 같은 결과를 얻을 수 있다고 생각했습니다. $e_1$ 과 $e_2$ 비행기에서 $M$ 어떤 각도로 $\varphi\ne k\pi,k\in\Bbb Z$.
내 진술의이 부분이 맞다면 물론 $\{f_1,f_2,e_3,\ldots,e_k\}$ 또한 $M$. 나는 이것이 어떤 것에 대해 귀납적으로 유지할 수 있다고 믿는다.$M\leqslant E_{\lambda'}$, 어디 $2\leqslant\dim M\leqslant\dim E_{\lambda'}$.
진술에 대한 확인과이를 간결하게 (반대) 입증하는 방법에 대한 조언을 요청할 수 있습니까?
미리 감사드립니다!
답변
대답은 '예'입니다.
다음 접근 방식을 권장합니다. 먼저$$ A = VDV^T = UDU^T \implies\\ VDV^T = UDU^T \implies\\ U^TVDV^TU = U^TUDU^TU \implies\\ (U^TV) D(U^TV)^T = D. $$ 이를 염두에두고 $W$ 직교 행렬을 나타냅니다. $W = U^TV$. 우리는$$ WDW^T = D \implies WD = DW. $$ 다시 말해, $W$ 직교 행렬입니다. $WD = DW$. 일단 우리가$W$, 우리는 $W = U^TV \implies V = UW$.
지금, $A$반복 된 고유 값이 있습니다. 이 고유 값을 호출$\lambda$. 일반성을 잃지 않고 다음과 같이 가정하십시오.$\lambda$ 대각선 항목 중 첫 번째 $D$, 쓰기 $$ D = \pmatrix{\lambda I_k & 0\\0 & D'} $$ 어디 $I_k$ 크기입니다 $k$ 단위 행렬 ( $k \geq 2$) 및 $D'$또한 대각선입니다. 나는 주장한다$W_1$입니다 어떤 $k \times k$ 직교 행렬 $W_2$ 대각선이다 $\pm1$의 다음 블록 행렬 $$ W = \pmatrix{W_1 & 0\\0 & W_2} $$ 직교하고 만족할 것입니다 $WD = DW$. 우리의 선택에 대해 규정합시다.$W$, $W_1$ 항목이 없습니다.
이제 항목이 $W$ 열의 내적 $U$ 열 $V$. 이를 염두에두고 결론을 내리십시오.$W$ 있다 $k \geq 2$ 0이 아닌 항목, 첫 번째 열 $V$열의 배수 가 아닙니다 .$U$.