직접 증명 방법을 사용하여이 벡터 공간 질문을 어떻게 증명합니까? [복제]

Question

R을 각각 실수 필드라고합니다. Mm, n (R)을 R에 대한 모든 m × n 행렬의 집합으로하고 Mn (R) = Mn, n (R)이라고합니다.

m, n> = 2를 정수로하고 A ∈ Mm, n (R)을 지정합니다.

(a) X ∈ Mn, 1 (R)을 XtX = 0이되도록합니다. X = 0임을 보여줍니다. 여기서 Xt는 행렬 X의 전치를 나타냅니다.

(b) N (AtA) = N (A)임을 보여줍니다.

모순으로 증명하는 대신 직접 증명 방법을 사용하여이 질문을 증명하려면 어떻게해야합니까?

Answer 1

만약 $\;x=(x_1,...,x_n)^t\in M_{n\times1}(\Bbb R)\;$ , 다음

$$x^tx=(x_1,\ldots,x_n)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\..\\x_n\end{pmatrix}=\sum_{k=1}^nx_k^2=0\iff x_k^2=0\iff x_k=0\,,\;\forall\,k=1,...,n$$

우리가 가지고 있었다면 관찰하십시오 $\;x\in M_{n\times 1}(\Bbb C)\;$ , 위의 증거는 거짓 일 것입니다 ... 이유를 알 수 있습니까?

Answer 2

(a)하자 $X = (x_1, \dots, x_n)$ (또는 $(x_1, \dots, x_n)^t$, 벡터에 대한 규칙에 따라 기본적으로 행 또는 열). 그때$$ X^tX = x_1^2 + \cdots x_n^2 \text{,} $$ 합계 $n$실수의 제곱이므로 음이 아닙니다. 이 표현은$0$, 모든 용어는 $0$, 강제 $X = 0$.

(당신은 이것이 여전히 모순에 의한 증거라고 이의를 제기 할 수 있습니다.이 경우, 염기로 귀납하여 진행하십시오. $x_1^2 = 0 \iff x_1 = 0$ 과 $x_1^2 > 0 \iff x_1 \neq 0$. 그러면 귀납적 술어는 ($x_1^2 + \cdots x_{n-1}^2 = 0$ 과 $x_n = 0$ 경우에만 $x_1^2 + \cdots + x_n^2 = 0$) 및 ($x_1^2 + \cdots x_{n-1}^2 > 0$ 또는 $x_n \neq 0$ 경우에만 $x_1^2 + \cdots + x_n^2 > 0$).)

(b) "$N$"는 정의되지 않았습니다. 널 공간의 순위라고 가정합니다. 행 감소를 다음에 적용하십시오. $A$ 부분 (a)는 감소 된 A의 0이 아닌 행이 0이 아닌 구성원을 제공함을 알려줍니다. $A^t A$ 0 행은 0을 제공하므로 널 공간의 순위는 동일합니다.