조건부 정규 분포 [중복]

Jan 10 2021

조건부 이변 량 정규 분포를 찾고 싶습니다. 분포와 상관 계수가 동일한 두 개의 종속 정규 변수가 있습니다.$\rho$: $X,Y \sim N(\mu, \sigma^2)$. 나는 얻고 싶다$P(X|Y>M)$.

나는 조건부 기대를 찾았다 $X$ ~을 고려하면 $Y$ 보다 크다 $M$: $E(X|Y>M)= \mu + \rho \sigma \frac{\phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}{1-\Phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}$.

그러나 조건부 분산은 무엇입니까 $var(X|Y>M)$? 그것은$(1-\rho^2)\sigma^2 $,의 경우와 같이 $var(X|Y=M)$, 분산이 의존하지 않는 곳 $M$?

그리고 조건부 분포입니다 $N(E(X|Y>M),var(X|Y>M))$?

답변

JohnL Jan 10 2021 at 21:49

조건부 분산은 다음에 따라 달라집니다. $M$.

조건부 분산에 대한 닫힌 형식을 찾을 수 없지만 밀도에 대한 닫힌 형식을 찾을 수 있습니다. 조건부 확률의 정의를 사용하여 조건부 누적 분포 함수로 시작한 다음 조건부 밀도를 찾기 위해 미분하여 찾았습니다.

Mathematica 입력 양식을 사용하는 밀도는 다음과 같습니다.

(((mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] - 
  ((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] + 
  (1 + Erf[Sqrt[(2*s^2 - 2*rho^2*s^2)^(-1)]*(mu - mu*rho + rho*t)])/Sqrt[(s^2 - rho^2*s^2)^(-1)])/(2*E^((mu - t)^2/(2*s^2))*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[(1 - rho^2)*s^4]*(1 - Erfc[(-M + mu)/(Sqrt[2]*s)]/2))

조건부 평균에 대한 공식이 정확합니다.

조건부 분산이 $M$ 수치 적분으로 계산했기 때문입니다.