조정 가능한 그룹에 의한 조정 가능한 그룹의 확장은 허용됩니다.
증명하고 싶습니다. $H\subset G$ 다음과 같은 정상적인 수용 가능한 하위 그룹입니다. $G/H$ 그러면 $G$괜찮습니다. 내가 사용하는 편의성의 정의는 다음과 같습니다.
그룹 $G$ 모든 행동이 $G$ 콤팩트 한 메트릭 공간의 동종성에 의해 불변 확률 측정을 인정합니다.
이 정의는 Navas의 "Groups of Circle Diffeomorphisms"에서 찾을 수 있습니다. 여러 가지 방법을 시도했지만 증명할 수 없었습니다. 편의성에 대해 동등한 정의가 많이 있다는 것을 알고 있지만 가능한 경우이 정의 만 사용하는 증명을 원합니다.
지금까지 내가 한 작업은 다음과 같습니다. $G$ 행동하다 $(M,d)$ 그때 $G/H$ 행동하다 $M/H$ (의 몫 $M$ 궤도로 $H$), 문제는이 그룹이 반드시 메트릭이 아니라 몫 그룹에 의사 메트릭을 부여 할 수 있다는 것입니다. $d'$ 위키 백과에 주어진 https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space#Quotient_metric_spaces (토폴로지는 몫 토폴로지보다 약할 수 있음) 그런 다음 다른 몫을 수행합니다. $X=(M/H)/\sim$ 어디 $[x]\sim [y]$ 만약 $d'([x],[y])=0$. 여기$X$ 콤팩트 한 미터법 공간이며 다음과 같은 조치를 취할 수 있습니다. $G/H$ 의 위에 $X$ 주어진 ${[g]}({[[x]]})=[[y]]$ 만약 $[[g(x)]]=[[y]]$, 이후 $G/H$ 불변 확률 측정이 존재합니다. $\nu$. 이제 세트$A_{[[x]]}=\lbrace y\in M:[[y]]=[[x]]\rbrace$ 콤팩트하고 변하지 않는다. $H$, 그래서 각각은 불변 확률 측정 즉 $\mu_{[[x]]}$ 확률 측정 값을 정의 할 수 있습니다. $M$ 같이 $$\mu(B)=\int_X \mu_{[[x]]}(B\cap A_{[[x]]})d\nu([[x]]).$$
나는 이것이 일반적으로 작동하는지 모르겠습니다. 증명하거나 반증 할 수 없었습니다. 궤도의 내부 이동이있을 수 있기 때문에 이것이 작동하지 않는 것 같습니다. $H$ 세트에서 $A_{[[x]]}$,하지만 이것이 내가 지금까지 시도한 것에 대한 통찰력을 제공하기를 바랍니다.
분명했으면 좋겠습니다. 미리 감사드립니다.
도움이 될 수있는 것 : 메트릭 공간에서 확률 측정 공간은 콤팩트하므로 확률 근접의 수렴을 사용할 수 있습니다.
답변
컴팩트 한 미터법 공간 수정 $M.$ 허락하다 $W(M)$ Wasserstein 공간을 나타냅니다. $M$: 확률 측정 공간 $M,$Wasserstein 메트릭으로. 중요한 속성은이 메트릭이 약한 수렴의 토폴로지를 제공하여$W(M)$ 콤팩트 한 미터법 공간.
허락하다 $W(M)^H$ 부분 공간을 나타냅니다 $H$-불변 측정. 이것은 닫혀 있기 때문에 작은 미터 공간이기도합니다.
행동 $G$ 의 위에 $M$ 행동을 준다 $(gp)(A)=p(g^{-1}A)$ 의 위에 $W(M).$ 이후 $H$ 보통이다, $G$ 보존 $W(M)^H$: 만약 $p$ 이다 $H$ 그때 불변 $p(g^{-1}hA)=p((g^{-1}hg)g^{-1}A)=p(g^{-1}A).$ 그러나 $H$ 사소하게 행동하다 $W(M)^H,$ 그래서 사실 $G/H$ 행동하다 $W(M)^H.$ 이후 $G/H$ 괜찮아요 $G$-불변 측정 $\xi$ 의 위에 $W(M)^H.$
이것은 확률 측정 공간에 대한 확률 측정입니다. 원래 공간에 대한 측정 값을 얻으려면$M,$측정의 통합이 필요합니다. 즉, Kantorovich 모나드 의 곱셈입니다 . 밝히다$E\xi\in W(M)$ 으로 $(E\xi)(A)=\int p(A)d\xi(p)$ 각 Borel에 대해 $A.$ 그만큼 $G$-불변 $\xi$ 의미 $G$-불변 $E\xi$: $$(gE\xi)(A)=\int (gp)(A)d\xi(p)=(E\xi)(A).$$
마지막으로 모든 곳에서 충족 가능성 조건을 삭제하면 동일한 주장이 작동한다고 언급하고 싶습니다. 모든 항목에 대한 불변 확률 측정의 존재$G$-작은 Hausdorff 공간에서의 작업은 비 국지적으로 컴팩트 한 그룹에 유용하게 일반화되는 편의성의 몇 가지 정의 중 하나입니다.
제 생각에, 나바스의 정의와 타협성에 대한 표준 개념의 동등성을 Bogolyubov-Dey 정리라고합니다. 여러 곳에서 찾을 수 있습니다. 예를 들어 발의안 3.6을 참조하십시오.
Grigorchuk, Rostislav; de la Harpe, Pierre , 위상 그룹의 편의성 및 에르 고딕 특성 : Bogolyubov부터 , Ceccherini-Silberstein, Tullio (ed.) et al., 그룹, 그래프 및 무작위 걷기. 2014 년 6 월 2 일부터 6 일까지 볼프강 여자 60 주년을 기념하여 이탈리아 코르토 나에서 개최 된 워크숍의 일부 논문. 캠브리지 : Cambridge University Press (ISBN 978-1-316-60440-3 / pbk; 978-1-316-57657-1 / ebook). London Mathematical Society 강의 노트 시리즈 436, 215-249 (2017). ZBL1397.43001 .
( 무료 버전을 보려면 여기 를 읽으 십시오 .)이 결과를 감안할 때, 예를 들어, 여기 또는 순응 그룹을 다루는 다른 많은 책 중 하나와 같이 순응 그룹 의 클래스가 확장 아래에 닫혀 있다는 사실에 대한 많은 증거를 사용할 수 있습니다.
편집하다. 이 책의 맥락에서 Navas는 개별 토폴로지를 갖춘 그룹에 대해서만 편의성 (예 : 속성 T)을 정의한다는 것이 분명합니다. 그가 토폴로지 그룹 (비 이산 토폴로지가 장착 된)의 맥락에서 편의성을 언급하지 않았고, 편의성에 대한 비표준 정의를 사용하고, 적응할 수있는 그룹의 일반적인 교과서 처리에 대한 참조를 제공하지 않는 것은 불행한 일입니다. 적어도 이산 그룹을 포함하는 로컬 압축 그룹의 경우 여기 참조 참조 ).