주어진 $2\times 2$ 매트릭스 $A$, 두 개의 고유 한 고유 값이 $A$ 대각선 가능합니까?
이 질문은 제가 작업해온 세미나와 관련이 있으므로 전체 질문을 공개하고 싶지 않고 단순히 이것이 이론적으로 어떻게 처리되는지 묻습니다.
$A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ $Q=(\lambda I - A) = \begin{bmatrix}\lambda - a & -b \\ -c & \lambda - d \end{bmatrix}$
그런 다음 다음의 고유 값을 찾고 싶습니다. $A$, 해결에 응답 $\det(Q)=0$. 내 질문은 우리가 두 개의 고유 한 고유 값을 얻을 수 있다는 점을 감안할 때 행렬이$A$대각선 가능합니까? 나는 우리가 a에 대해 두 개의 고유 벡터를 가지고 있다면 말하는 정리만을 찾았습니다.$2\times 2$ 매트릭스 $A$, 다음 $A$ 대각선이 가능합니다 ...
도움을 주시면 감사하겠습니다!
답변
당신이 가지고 있다면 $2$ 고유 한 고유 값은 특성 다항식이 다음과 같음을 의미합니다. $(λ-a)(λ-b)$, 어디 $a$ 과 $b$고유 값입니다.
이제 행렬은 각 고유 값에 대해 대수 다중도가 기하 다중 도와 같으면 대각선이 가능합니다.
우리의 경우 대수적 다중도가$1$ (각 고유 값에 대해) 따라서 기하학적 다중도는 다음과 같습니다. $1$ ($0<\text{geometric multiplicity} \leq \text{algebraic multiplicity}$) 따라서 행렬은 대각선이 가능합니다.
그래서 장군을 위해$n\times n$ 가지고 있다면 매트릭스 $n$ 고유 한 고유 값은 대각선이 가능합니다.
만약 $A$ 이다 $n \times n$ 고유 값이 고유 한 행렬, 0이 아닌 벡터가 있음 $V_i$, $1 \le i \le n$,와 함께
$AV_i = \mu_i V_i \tag 1$
그만큼 $\mu_i$ 고유 한 고유 값 $A$. 고유 한 고유 값과 관련된 고유 벡터가 선형 적으로 독립적이라는 것은 잘 알려져 있습니다. 따라서 매트릭스
$S = [V_1 \; V_2 \; \ldots \; V_n ] \tag 2$
비단 수이므로 가역적이므로 $n \times n$ 매트릭스 $S^{-1}$ 와
$S^{-1}S = SS^{-1} = I; \tag 3$
또한,
$AS = [AV_1 \; AV_2 \; \ldots \; AV_n ] = [\mu_1 V_1 \; \mu_2 V_2 \; \ldots \; \mu_n V_n]; \tag 4$
그러므로
$S^{-1}AS = S^{-1} [\mu_1 V_1 \; \mu_2 V_2 \; \ldots \; \mu_n V_n] = [\mu_1 S^{-1} V_1 \; \mu_2 S^{-1} V_2 \; \ldots \; \mu_n S^{-1} V_n]; \tag 5$
이제 (2)와 (3)에 따라
$S^{-1}S = S^{-1} [V_1 \; V_2 \; \ldots \; V_n ] = [S^{-1} V_1 \; S^{-1} V_2 \; \ldots \; S^{-1} V_n ] = I, \tag 6$
각각의 $S^{-1} V_i$ 열 벡터입니다. $i$-번째 항목은 다음과 같습니다. $1$ 다른 모든 요소와 함께 $0$; 이 관찰을 (5)에 통합하면
$S^{-1}AS = \text{diag}(\mu_1, \; \mu_2, \; \ldots, \; \mu_n), \tag 7$
따라서 우리는 $A$ 대각선으로 $S$. $OE \Delta$.