주문 그룹 표시 $pq$ 순서의 하위 그룹이 있습니다 $p$ 과 $q$ sylow와 cauchy의 정리를 사용하지 않고

Question

만약 $o(G)$ 이다 $pq$, $p>q$ 소수입니다, 증명하십시오 $G$ 순서의 하위 그룹이 있습니다 $p$ 및 주문의 하위 그룹 $q$.

[이 질문은 Herstein의 질문이며 Sylow와 Cauchy의 정리보다 앞서 있습니다. 그래서 나는 이것들 중 하나를 사용하지 않고 대답을 기대하고 있습니다.]

지금까지 얻은 내용은 다음과 같습니다.

만약 $G$ 순환 적이면 그렇지 않으면 수행됩니다. 순환 적이 지 않다고 가정 할 수 있습니다. 즉, 모든 비 동일성 요소는 순서가 있어야합니다. $p$ 또는 $q$.

케이스 $(1)$ 존재한다면 $a\in G$ 그런 $o(a) = p$ 그리고 질서의 요소도 존재한다면 $q$그러면 우리는 끝났습니다. 그래서 우리는 모든 non-identity 요소가 순서대로 있다고 가정 할 수 있습니다.$p$. 이제 선택$b\in G$ 그런 $b\notin \langle a \rangle$ 그때 $o(b) = p$ 과 $\langle a \rangle\cap\langle b \rangle =(e)$

그래서 우리는 $\langle a\rangle \langle b\rangle\subset G$ 그러나 $o(\langle a \rangle \langle b \rangle) = \dfrac {o(\langle a \rangle)o(\langle b \rangle)}{o(\langle a\rangle \cap \langle b\rangle)} = p^2$ 그러나 $p^2 > pq$ [이후 $p>q$] 그래서 우리는 모순을 얻었습니다.

두 번째 사례에 대한 힌트를 제공하고 첫 번째 사례에 대한 내 주장이 잘못된 경우 수정

Answer 1

모든 비 동일성 요소가 순환 순서 그룹을 생성한다고 가정합니다. $q$, 소수의 작은.

Conjugacy는 그룹에 대한 등가 관계입니다. 따라서 그룹을 동등한 클래스로 분할 할 수 있어야합니다. 요소가 속한 등가 클래스의 크기는 요소의 중앙 집중 장치의 색인입니다. 왜? 고치다$x\in G$. 에서 동형화 만들기$G \rightarrow G$ 보내서 $g \rightarrow xgx^{-1}$. 등가 클래스의 크기는 이미지의 순서입니다. 이 맵의 핵심은 무엇입니까?

중앙 집중 장치가 정상인 경우 $p$ 또는 $pq$, 우리는 끝났습니다. 모든 중앙 집중 장치가 정상이라고 가정$q$, 중앙 집중 장치의 색인은 $pq/q=p$. 모든 요소는 크기의 등가 클래스에 속합니다.$p$, 식별 요소를 제외하고.

간단한 카디널리티 계산은 $pq= kp+1$, 등가 클래스의 수를 나타냅니다. 그러나 이것은 터무니없는 일이므로 모든 하위 그룹의 주문은 아닙니다.$q$.