주문의 이상적인 표준

Aug 16 2020

허락하다 $\overline{T}$ 그런 Dedekind 반지 $\overline{T}/\overline{I}$ 0이 아닌 모든 이상에 대해 유한합니다. $\overline{I}$ 의 $\overline{T}$. 허락하다$T$ 서브 링이되다 $\overline{T}$ 분수의 총 고리가 동일합니다 (즉, 순서).

허락하다 $I$ 이상이되다 $T$ 그리고하자 $\overline{I} = I\overline{T}$. 규범 $N_T(I)$ 의 $I$ 카디널리티로 정의됩니다. $T/I$.

질문 : 관련 공식이 있습니까?$N_T(I)$ 과 $N_{\overline{T}}(\overline{I})$?

예를 들어, 일부 "tor"그룹이 불일치를 측정하는 것이 그럴듯 해 보입니다.

비고 :

만약 $I$ 그러면 투사 적이다 $N_T(I)$ 과 $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ 같다.
현지화는 다음과 같은 경우에 문제를 줄입니다. $T$ 로컬 (및 $\overline{T}$ 반 로컬), 둘 다 $I$ 그리고 지휘자 $T$ 적절한 이상입니다.
(Luc Guyot에게 감사드립니다) If $T$A는 베이스 링 ($\leftrightarrow$ 모든 중간 링 $T \subset R \subset \overline{T}$ Gorenstein입니다 $\leftrightarrow$ 모든 이상은 두 가지 요소에 의해 생성됩니다.) $T = \{a \in \overline{T} : a I \subset I \}$, [2, 발의안 5.8] $I$투영입니다. 그것은 다음과 같습니다$N_T(I)$ 과 $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ 동일합니다 (첫 번째 발언으로).
(세 번째 비고의 일반화) $T$A는 Gorenstein 정역가 와$T = \{a \in \overline{T} : a I \subset I \}$, 다음 $I$투영입니다. 이것은 정리 6.2 (4)와 [1]의 제안 7.2를 결합한 결과입니다. 그것은 다음과 같습니다$N_T(I)$ 과 $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ 동일합니다 (첫 번째 발언으로).

[1] H. Bass, "고렌 슈타인 반지의 편재성", 1963.

[2] L. Levy와 R. Wiegand, "2 개 생성 이상을 가진 반지의 데데 킨트와 같은 행동", 1985.

답변

4 LucGuyot Aug 18 2020 at 07:46

2 차 숫자 필드의 임의 순서로 계산하여 설명 할 일반적인 설명으로 시작하겠습니다.

만약 $\overline{I}$ 계약 $I$, 즉 $\overline{I} \cap R = I$, 다음 포함 $R \rightarrow \overline{R}$ 주사를 유도하다 $R$-모듈 동형 $R/I \rightarrow \overline{R}/\overline{I}$. 그 결과$N_R(I)$ 분할 $N_{\overline{R}}(\overline{I})$ 특히 우리는 $N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$. 예를 들어$I$ 최고의 이상입니다. $N_R(I)$ 분할 $N_{\overline{R}}(\overline{I})$.

내가 대답하지 못한 근본적인 질문은 다음과 같습니다.

질문. 항상 사실입니까?$N_R(I)$ 분할 $N_{\overline{R}}(\overline{I})$, 또는 적어도 $N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$?

편집하다. OP 답변에는$N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$ 0이 아닌 모든 이상에 대해 $R$.

위의 질문에 대해서는 다루지 않겠습니다. 대신에 조건을 소개하겠습니다.$R$ 그 아래 $N_R(I)$ 분할 $N_{\overline{R}}(\overline{I})$ 0이 아닌 이상을 위해 $I$ 의 $R$.

제안. 0이 아닌 이상이$I$ 의 $R$ 승수의 링에 투영됩니다. $\varrho(I) \Doteq \{ r \in \overline{R} \, \vert \, rI \subseteq I\}$, 그러면 우리는 $$ N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I) \vert \varrho(I)/R \vert. $$

사이드 노트. 그$\varrho(I) = \{ r \in K \, \vert \, rI \subseteq I\}$ 어디 $K$ 분수의 필드를 나타냅니다 $R$, 이후 $R$ Noetherian입니다.

기본 정리 1 (OP의 주장) . 만약$I$ 뒤집을 수있는 이상입니다 $R$ 그때 $N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I)$.

증명. 첫째, 0이 아닌 원칙 이상에 대한 진술을 증명하십시오.$I$. 그런 다음 분해$R$-유한 길이의 모듈 $\overline{R}/\overline{I}$ 최대 이상에 대한 현지화의 직접적인 합계로 $R$[4, 정리 2.13]. 같은 일을$R/I$ 요약의 카디널리티를 비교합니다.

발의안 증명. Lemma 1에 따르면$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_{\varrho(I)}(I)$. 그 후$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = [\varrho(I) : R][R: I] = \vert \varrho(I)/R\vert N_R(I)$.

참고 $R$ 이상이 2 차로 생성 된 순서 (예 : 2 차 장의 순서 또는 판별자가 4 제곱이없는 순서 [2, 정리 3.6]), 다음의 모든 0이 아닌 이상 $R$위의 명제의 가설을 충족시킵니다. 예를 들어 Keith Conrad의 주석의 [1], [2] 및 Theorem 4.1, Corollaries 4.3 및 4.4를 참조하십시오 . OP는 그의 발언과 답변에서 유사한 결과를 논의합니다.

허락하다 $m$제곱이없는 유리수입니다. 우리는 설정$K \Doteq \mathbb{Q}(\sqrt{m})$ 및 표시 $\mathcal{O}(K)$ 2 차장 정수의 고리 $K$.

느슨한 주장. 주문이 주어짐$R$ 의 $K$ 그리고 이상 $I \subseteq R$, 우리는 계산할 것입니다 $N_{\mathcal{O}(K)}(I\mathcal{O}(K))$ 의 기능으로 $N_R(I)$ 다음과 관련된 이진 2 차 형식 $I$.

이를 위해 몇 가지 표기법과 정의를 소개합니다.

환경 $$\omega = \left\{ \begin{array}{cc} \sqrt{m} & \text{ if } m \not\equiv 1 \mod 4, \\ \frac{1 + \sqrt{m}}{2} & \text{ if } m \equiv 1 \mod 4, \\ \end{array}\right. $$ 우리는 $$\mathcal{O}(K) = \mathbb{Z} + \mathbb{Z} \omega$$ 및 모든 순서 $K$ 형태이다 $\mathcal{O}_f(K) \Doteq \mathbb{Z} + \mathbb{Z} f \omega$ 합리적인 정수 $f > 0$[2, Lemma 6.1]. 또한 포함$\mathcal{O}_f(K) \subseteq \mathcal{O}_{f'}(K)$ 다음 경우에만 true를 유지합니다. $f'$ 분할 $f$. 만약$I$ 이상입니다 $\mathcal{O}_f(K)$, 승수의 링 $\varrho(I) \Doteq \{ r \in \mathcal{O}(K) \, \vert \, rI \subseteq I\}$ 가장 작은 주문입니다 $\mathcal{O}$ 의 $K$ 그런 $I$ 의 이상으로 투영, 동등하게 뒤집을 수 있습니다. $\mathcal{O}$[2, 발의안 5.8]. 수정하자$f > 0$ 및 설정 $$R \Doteq \mathcal{O}_f(K), \quad \overline{R} \Doteq \mathcal{O}(K).$$

이상 $I$ 의 $R$이라고합니다 기본 이로 쓸 수없는 경우$I = eJ$ 합리적인 정수 $e$ 그리고 어떤 이상 $J$ 의 $R$.

주요 도구는 Standard Basis Lemma [5, Lemma 6.2 및 그 증명]입니다.

Lemma 2. Let$I$ 0이 아닌 이상 $R$. 그런 다음 유리한 정수가 있습니다.$a, e > 0$ 과 $d \ge 0$ 그런 $-a/2 \le d < a/2$, $e$ 둘 다 나누다 $a$ 과 $d$ 그리고 우리는 $$ I = \mathbb{Z} a + \mathbb{Z}(d + e f \omega). $$ 정수 $a, d$ 과 $e$ 고유하게 결정되는 $I$. 우리는$\mathbb{Z}a = I \cap \mathbb{Z}$ 그리고 정수 $ae$ 표준과 같다 $N_R(I) = \vert R /I \vert$ 의 $I$. 이상$I$ 다음과 같은 경우에만 원시적입니다. $e = 1$.

이후 $\mathbb{Z}a = I \cap \mathbb{Z}$, 유리수 $a$ 분할 $N_{K/\mathbb{Q}}(d + e f \omega)$. 우리는 생성 쌍이라고 부릅니다.$(a, d + ef \omega)$의 표준으로$I$. 우리가 연결하자$I$ 이진 2 차 형식 $q_I$ 정의 $$q_I(x, y) = \frac{N_{K/\mathbb{Q}}(xa + y(d + ef\omega))}{N_R(I)}.$$

그런 다음 우리는 $$eq_I(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2$$ 와 $$b = Tr_{K/\mathbb{Q}}(d + ef \omega) \text { and } c = \frac{N_{K/\mathbb{Q}}(d + ef \omega)}{a}.$$우리는 내용을 정의합니다$c(q_I)$ 의 $q_I$ 계수의 최대 공약수로, 즉 $$c(q_I) \Doteq \frac{\gcd(a, b, c)}{e}.$$

말. 우리는$c(q_I) = \frac{\gcd(a, d, ef)}{e} = \frac{f}{f'} = \vert \varrho(I) / R \vert$ 어디 $f'$ 의 제수 $f$ 그런 $\varrho(I) = \mathcal{O}_{f'}$.

청구. 허락하다$I$ 0이 아닌 이상 $R$. 그런 다음 우리는$$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I) \vert \varrho(I)/R \vert \text{ with } \vert \varrho(I)/R \vert = c(q_I).$$

증명. 이후$N_R(xI) = N_R(Rx) N_R(I)$ 과 $N_R(Rx) = N_{\overline{R}}(\overline{R}x) = \vert N_{K/\mathbb{Q}}(x) \vert$ 모든 $x \in R \setminus \{0\}$, 우리는 일반성을 잃지 않고 가정 할 수 있습니다. $I$ 원시입니다. 즉, $e = 1$. 정의에서 바로 다음과 같습니다.$$\overline{I} = \overline{R} I = \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}a \omega + \mathbb{Z}(d + f \omega) + \mathbb{Z}v$$ 어디
$$v = \left\{ \begin{array}{cc} f \omega^2 + d \omega & \text{ if } m \not\equiv 1 \mod 4, \\ f \frac{m - 1}{4} + (d + f) \omega & \text{ if } m \equiv 1 \mod 4. \\ \end{array}\right.$$이제 Smith Normal Form 을 계산하는 것으로 충분합니다. $\begin{pmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 매트릭스의 $A \Doteq \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ d & f \\ v_1 & v_2 \end{pmatrix}$ 어디 $(v_1, v_2)$ 매트릭스입니다 $v$ 에 관하여 $\mathbb{Z}$-기초 $(1, \omega)$ 의 $\overline{R}$. 계수$d_1$ 계수의 최대 공약수입니다. $A$ 쉽게 볼 수 있습니다 $\gcd(a, d, f) = \gcd(a, b, c)$. 계수$d_2$ 의 최대 공약수입니다. $2 \times 2$ 미성년자 $A$ 로 나눈 $d_1$ 쉽게 볼 수 있습니다 $\frac{a \gcd(c(q_I), q_I(0, 1))}{d_1} = \frac{a c(q_I)}{d_1}$. 그러므로$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = d_1 d_2$ 원하는 형태가 있습니다.

[1] J. Sally 및 W. Vasconcelos, "안정된 고리", 1974.
[2] C. Greither, "1 차원 고리의 이상에 대한 2 개의 생성기 문제", 1982.
[3] L. Levy 및 R. Wiegand, "반지의 Dedekind와 같은 행동$2$-generated ideals ", 1985.
[4] D. Eisenbud,"대수 기하학을 바라 보는 교환 적 algreba ", 1995.
[5] T. Ibukiyama 및 M. Kaneko,"2 차 장의 2 차 형태 및 이상 이론 ", 2014 .

2 AWO Aug 21 2020 at 05:32

나는 일반적인 문제에 대해 알려진 것의 전체 범위를 내가 아는 한 다른 사람들의 이익을 위해 기록하고 있습니다. Luc Guyot는 2 차 주문의 경우에 대해 훌륭하고 명확한 답변을 제공했습니다.

원래 질문이 아직 답변되지 않았으므로이 게시물을 "답변"으로 표시하지 않습니다.

의 불일치 를 보자$T$-이상 $I$ 다음과 같이 정의되다 $ds(I) = N_{\overline{T}}(\overline{I})/N_T(I)$ (비표준 정의).

언제 $ds(I) = 1$?

다음 정리는 논문의 주요 도구입니다 [1]. 이 명령문은 [2]의 모듈 색인 표기법을 사용합니다.

정리 [1; 정리 1] :

$[\overline{T}:\overline{I}] \subset [T:I]$.
$[\overline{T}:\overline{I^{-1}}] \subset [I:T]$.
$[{T}:{I^{-1}}] \subset [\overline{I}:\overline{T}]$.

또한 다음은 동일합니다.

(1), (2), (3) 사이의 하위 집합 관계는 동등합니다.
(1), (2), (3) 사이의 모든 부분 집합 관계는 동등합니다.
$I$ 뒤집을 수 있습니다.

이 정리는 "불일치"에 대해 다음과 같은 결과를 가지고 있습니다. 을 불러 그 다른 의$T$ 정의된다 $\mathfrak D_{T} = (T^\vee)^{-1}$ 어디 $T^\vee$ 이중입니다 $T$ 추적 양식.

추론 :$ds(I) \geq 1$ 평등 한 경우에만 $I$ 뒤집을 수 있습니다.

결과 : 다음은 동일합니다.

불일치 $\mathfrak D_{T}$ 이다 $1$.
모든 이상을 위해 $I$ 의 $T$, $ds(I) = 1$ 경우에만 $T = (I:I)$.
$T$ Gorenstein입니다.

이 추론의 모든 것은 잘 알려진 동등성에서 뒤 따르는 두 번째 추론의 두 번째 점을 제외하고 정리에서 즉시 따릅니다. $T=(I:I) \iff I \text{ invertible}$ 언제 $T$ Gorenstein입니다 (예 : [3; 발의안 5.8] 또는 [4; 발의안 2.7]).

2 차 케이스

[Luc Guyot의 답변에있는 표기법에 따름]

위의 추론을 사용하여 2 차 사례를 다시 살펴 봅니다. 불일치는 동성애에서 변하지 않으므로 이상을 가정 할 수 있습니다.$I$ 원시 ($e = 1$). 작성자 : [5; Lemma 6.5], 이상적인$I$ 만족하다 $R = (I:I)$ 경우에만 $\gcd(a,b,c) = 1$. 실제로 Luc Guyot의 대답에서 불일치에 대한 공식은 정확하게$\gcd(a,b,c)$. (Luc Guyot의 답변에있는 발언에 따르면$ds(I) = f/f'$ 어디 $f$ 지휘자 $T$ 과 $f'$ 지휘자 $(I:I)$.) 따라서 공식 $ds(I) = c(q_I)$ 두 번째 결과와 일치합니다.

상한

우리는에 대한 상한을 유도 할 것입니다. $ds(I)$ 독립적 인 $I$. 나는 가정한다$T$단순함을위한 도메인입니다. 우리는$T \neq \overline{T}$ 및 설정 $S = \overline{T}$. 허락하다$\mathfrak f$ 지휘자 표시 $T$.

상한 : 모든 T- 분수 이상$I$, $ds(I) \leq |S/T||S/\mathfrak f|.$

두 $T$-부분적 이상이 국부적으로 동형 인 경우 동일한 속입니다 . 동등하게, 하나의 이상을 다른 이상으로 곱하는 가역적 인 T 이상이 존재합니다.

청구 : 모두$T$-분수 이상 $I$ 같은 속 $T$-분수 이상 $J$ 그런 $\mathfrak f \subset J \subset S.$

증거 :하자 $P$ 최고의 이상이되다 $T$ 그리고하자 $S_P$ 완전한 폐쇄를 나타냅니다 $T$(통합 폐쇄 통근 및 현지화). 구성하는 것으로 충분합니다.$T_P$-동형 인 분수 이상 $I_P$ 그런 $\mathfrak f_P \subset J_P \subset T_P$ 여기서 아래 첨자는 텐서 링을 나타냅니다. $T_P$. $S_P$로컬 Dedekind 링의 유한 제품이므로 PID입니다. 그 후$I_PS_P = \alpha S_P$ 일부 $\alpha$ 에 $Quot(T)$. 허락하다$J_P = \alpha^{-1}I_P$. 그때$J_P \subset S_P$,뿐만 아니라 $$J_P \supset J_P \mathfrak f_P = J_P S_P \mathfrak f_P = \mathfrak f_P.$$

주장 : 불일치$ds(I)$ 속에서 일정합니다.

증명 : 이것은 역전 가능한 이상을 지역화하고 사용함으로써 증명됩니다. $T$ (후자의 사실은 [5; 발의안 2.3]에서 따옴).

이러한 주장을 종합하면 $I$ 어떤 $T$-분수 이상, $ds(I) = ds(J)$ 일부 $T$-분수 이상 $J$ 그런 $\mathfrak f \subset J \subset S$. [1; 정리 1],$|T/J| \leq |S/SJ|$. 우리도 가지고있다$S\mathfrak f = \mathfrak f \subset SJ \subset S$, 등 $|S/SJ| \leq |S/\mathfrak f|$. 쓰다$M' = M/\mathfrak f$ 포함하는 모든 모듈 $\mathfrak f$. 불평등을 종합하면

$$ds(I) = |S/SJ|/|T/J| \leq |S/\mathfrak f|/ |T/J| = |S'|/(|T'|/|J'|) = |S/T| |J/\mathfrak f| .$$

마지막 용어는 위에서 다음과 같이 제한됩니다. $|S/T| |S/\mathfrak f|$.

결론

불일치 함수는 불평등을 만족시키고, $1 \leq ds(I) \leq |\overline{T}/T||\overline{T}/\mathfrak f|$, 어떠한 것도 $T$-분수 이상 $I$, 2 차 케이스의 도체 측면에서 명시적이고 자연스러운 공식을 인정합니다. 그러나 불일치 함수가 일반적으로 "닫힌 형태"로 주어질 수 있는지 여부는 알려지지 않은 것으로 보입니다 (예 :$T$, 차이점 또는 판별 $T$ 과 $\overline{T}$, Ext 또는 Tor 그룹 이상 $T$ 또는 $\overline{T}$).