중요하지 않은 유한 해결 가능 그룹에는 각 소수 제수에 대한 소수 검정력 지수의 하위 그룹이 있습니까?
모든 최대 하위 그룹은 $G$ 다음과 같은 경우 주력 지수입니다. $G$ 사소하지 않은 유한 해결 가능 그룹입니다.
제 질문은 : 각 소수에 대해$r\in\pi(G)$ 최대 하위 그룹이 있습니다. $G$ 지수의 거듭 제곱 $r$?
증명하려고했지만 증명에서 실수를했다는 것을 알게되었습니다. 내 시도는 다음과 같습니다.
밝히다 $$\pi^*:=\{r\in\pi(G)\mid~\mbox{There is no maximal subgroup }H\mbox{ of }G\mbox{ such that }|G:H|\mbox{ is a power of }r\}.$$ 우리는 $\pi^*$빈 세트입니다. 그것을 가정$\pi^*$비어 있지 않습니다. 그러면 최대 부분 군의 인덱스는 정확히 소수의 거듭 제곱입니다.$\pi(G)\setminus\pi^*$. Sylow 복용$q$-하급 집단 $S_q$ 각각 $q\in\pi(G)$. 에 대한$p\in\pi(G)\setminus\pi^*$, 임의의 최대 부분 군을 취합니다. $M$ 의 $G$ 그런 $|G:M|$ 의 힘이다 $p$. 우리는$$\left|\prod_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q\right|_p=|G|_p>|M|_p.$$ 그것은 의미 $\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ 최대 하위 그룹에 포함되지 않습니다. $G$. 그러나$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ 적절하게 포함되어 있습니다 $G$, 이것은 모순입니다.
내 실수 :$\prod\limits_{q\in\pi(G)\setminus\pi^*}S_q$ 반드시 하위 그룹은 아닙니다. $G$, 그래서 사실 나는 어떤 모순도 얻을 수 없습니다.
몇 가지 아이디어를 주시겠습니까? 다른 방식으로 증명해야 할 것 같아요. 도움을 주시면 감사하겠습니다. 감사!
답변
이것은 수용성 그룹에 대한 Hall의 정리입니다. 다음과 같이 설명합니다.
유한 그룹은 다음과 같은 경우에만 용해됩니다. $p\mid |G|$, 존재 $p'$-하급 집단 $H$ 지수는 $p$.
하위 그룹 $H$ 그런 $|H|$ 과 $|G:H|$coprime은 Hall 하위 그룹 이라고 합니다.$\pi$ 다음과 같은 소수 집합입니다. $p\in \pi$ 분할 $|G|$ 분할하는 경우에만 $|H|$, 다음 $H$ 홀입니다 $\pi$-하급 집단.
힌트없이 이것을 증명하는 것은 약간의 도전입니다. 좋아하는 교과서에서 찾아 보거나 한 방향에 대해 아래의 개요를 따를 수 있습니다. 허락하다$\pi$ 소수의 집합이고 우리는 홀의 존재를 증명하는 것을 목표로합니다. $\pi$-하위 그룹 $G$.
- 허락하다 $K$ 최소 정상 하위 그룹 $G$. 만약$K$ 이다 $\pi'$-subgroup 그러면 모든 것이 완료됩니다.
- 만약 $K$ 이다 $p$-하위 그룹 $p\in \pi$, 그러면 Schur-Zassenhaus 정리를 Hall의 사전 이미지에 사용할 수 있습니다. $\pi$-하위 그룹 $G/K$.
여기 에서 완전한 증거를 찾을 수 있습니다 , p.28.
예, 모든 소수 집합에 대해 유한 해결 가능 그룹에는 순서가 이러한 소수로만 나눌 수 있고 인덱스가 이들 중 하나로 나눌 수없는 홀 하위 그룹이 포함됩니다. 이제 그룹의 순서를 나누고 하나만 나누는 모든 소수 집합을 가져옵니다. 해당하는 홀 하위 그룹이 필요합니다.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hall_subgroup