중지 된 마틴 게일의 최소 기대치는 $-\infty$

Question

Random Walk Martingale을 고려하십시오. $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ 어디 $X_k$ 균일하게 경계가 지정되어 있습니다. $E(X_1)=0,E(X_1^2)=\sigma^2>0$. 허락하다$a>0$ 및 설정 $T=\inf\{n:S_n\geq a\}$. 보여줘$E(\min_n S_{n\wedge T})=-\infty$.

나는 정의를 생각하고 있었다 $T(k)=\inf\{n:S_n\leq -k\}$ 마틴 게일 사용 $S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2-(n\wedge T\wedge T(k))\sigma^2$. 그런 다음 MCT 및 경계를 사용하여$S_{n\wedge (T\wedge T(k))}^2$) $E(S^2_{T\wedge T(k)})=\sigma^2(T\wedge T(k))$. 이것은 의미$b^2P(T<T(k))+k^2P(T>T(k))=\sigma^2 E(T\wedge T(k))$. 여기서 어떻게 진행해야할지 모르겠습니다.

Answer 1

이것은 어떤가요?

어떠한 것도 $N < \infty$, 선택적 샘플링 정리에 의해 우리는 $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N}) = 0$. 과$E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)}) = E(S_{T \wedge N} I_{T < T(k)}) \ge a P(T < T(k) \wedge N) \to a$ 같이 $N, k \to \infty$.

그래서 $E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}) = - E(S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T < T(k)})$ 음수로 수렴합니다. $N,k \to \infty$.

허락하다 $U = \min_n S_{n \wedge T}$. 지금$U I_{U < -k} \le S_{T \wedge T(k) \wedge N} I_{T > T(k)}$. 만약$E(U) > -\infty$, 다음 $E(U I_{U < -k}) \to 0$ 같이 $k \to \infty$, 이것은 모순입니다.