주파수 영역에서 회선의 IDTFT
나는 모든 것을 시도했다. 이 문제를 실제로 해결하는 방법을 알고 있다면 힌트를 제공 할 수 있습니까?
$$ e^{-2j\Omega}\frac{ \sin\left( \frac{7\Omega}{2}\right)}{ \sin\left( \frac{\Omega}{2} \right)}\star \frac{\sin\left( \frac{10 \Omega}{2} \right)}{\sin\left( \frac{\Omega}{2} \right) }$$
이상적으로는 모든 "분수"의 푸리에를 개별적으로 찾은 다음 속성을 사용하고 싶습니다. $x(n - n_o) \rightarrow e^{-jn_0\Omega}X(\omega)$ 그래서 난 괜찮아 $$ e^{-2j\Omega}$$ 하지만 두 가지 문제가 있습니다.
- 나는 사용할 수 없다 $\displaystyle \frac{\sin\left(\left(n+\frac 12\right)\Omega\right)}{\sin\left(\frac \Omega 2\right)}$ ...에 대한 $(n+1/2) = 10/2$ 때문에 $n \in Z$
- DTFT에서 내 책에는 convolution을 변환하는 연속 시간과 같은 속성이 없습니다. $\Omega$ 시간 영역에서 곱하기 도메인이므로 여기에 무엇을 해야할지 모르겠습니다.
업데이트 :
답변하신 분들의 의견과 도움 후 : juch로 해보겠습니다.$\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}= \frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}e^{j\Omega(10-1)/2}=\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]e^{j9\Omega/2}$
나는 재산을 이용한다 : $\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]e^{j9\Omega/2} \rightarrow 2\pi F^{-1}{\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]} * F^{-1}[e^{j9\Omega/2}]$
결과는 다음과 같습니다.
$F^{-1}[e^{j9\Omega/2}] =$ $\frac{1}{2\pi}int_{\pi}^{\pi}e^{j9\Omega/2}e^{j\Omega n}d\Omega = \frac{1}{2\pi}\frac{e^{j\Omega(9/2 +n)}}{j(9/2+n)}\Big|_{-\pi}^{\pi}=\frac{4(-1)^n}{2\pi(n+9)}$ (나는 생각한다)
과 $F^{-1}[e^{j9\Omega/2}]=1$ ...에 대한 $n \in [0,9]$다른 곳에서는 0입니다.
이제 우리는 그 2의 컨볼 루션을 계산해야합니다 :
결과는 0이 아니어야합니다.$n \in [0,9]$ 그래서:
$F^{-1}\Big[\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}\Big]e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big] = \begin{cases} \frac{4(-1)^n}{(n+9)} & n \in [0,9] \\ 0 & else \end{cases}$
답변
이 연습은 DTFT의 기본 속성 (여기에 수집 : DTFT 속성 표) 을 결합하기위한 것 같습니다 . Matt는 product / convolution 속성을 설명했습니다. 타임 시프트 / 복잡한 변조도 얻을 수 있습니다. 나는 (내가 계산을하지 않았다고 생각했다) 요인의 문제가$10$ 변수 변경으로 해결할 수 있습니다. $10\Omega = 5\times (2\Omega)$및 시간 확장 (확장) 속성 사용 ( 불연속 시간 시퀀스의 시간 확장 및 DTFT 참조 ) :
$$ S(c\Omega) \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x[n/c] \textrm{ if } n/c \textrm{ is an integer } \\ 0 \textrm{ otherwise.} \end{array} \right.$$
다른 힌트는 Dirichlet 커널 주변에 있습니다 .
$$D_N(x) =\frac{\sin\left(\left(N +1/2\right) x \right)}{\sin(x/2)}$$
asinc 또는 psinc ( 별명 또는 주기적 카디널 사인 또는 sinc) 라고도하며 유한 지원 이산 창과 관련이 있습니다. 만약$*$ 컨볼 루션 부호이며 해상도는 푸리에의 곱 / 컨볼 루션 속성을 사용할 수 있습니다.
그리고보다 일반적으로 ( Dirichlet 커널 페이지 하단에 있음 ) 다음과 같은 신원이 있습니다.
$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{jn\Omega} = e^{j(N-1)\Omega/2}\frac{\sin(N \, \Omega/2)}{\sin(\Omega/2)}\,,$$
이산 시간 창의 DTFT와 관련이 있습니다. $w_{[0,N-1]}$ (색인에서 $n=0$ ...에 $n=N-1$)을 위상 보정 항을 사용하여 사인 비율로 변환합니다. 윈도우 함수의 이산 시간 푸리에 변환 에서 자세한 내용을 확인할 수 있습니다 .
또한 이산 시간에서 우리는 한 도메인의 곱셈과 다른 도메인의 컨볼 루션 사이의 대응 관계가 있습니다.
$$x[n]y[n]\Longleftrightarrow \frac{1}{2\pi}X(e^{j\omega})\star Y(e^{j\omega})\tag{1}$$
주파수 영역의 컨볼 루션은 다음과 같이 정의됩니다.
$$X(e^{j\omega})\star Y(e^{j\omega})=\int_{-\pi}^{\pi}X\big(e^{j\theta}\big)Y\big(e^{j(\omega-\theta)}\big)d\theta\tag{2}$$
DTFT
$$H_N(e^{j\omega})=\frac{\sin\left(\frac{N\omega} {2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)},\qquad N\textrm{ odd}\tag{3}$$
매우 간단한 시간 도메인 시퀀스에 해당합니다. 여기에서 가져갈 수있을 거라고 확신합니다.