크기의 궤도를 이해하는 방법 $1$ 이 경우
저는 그룹 이론의 독학 초보자이므로 간단한 답을 얻을 수있는이 질문을 참아주세요. 주어진$p$-그룹 $G$ 일부 전성기 $p$, 허락하다 $H$ 하위 그룹이되다 $G$. 허락하다$X$ 모든 켤레의 집합 $H$.
지금, $H$ 행동하다 $X$활용하여. 나는 적어도$p$ 크기의 궤도 $1$ 에 $X$.
크기가있는 궤도의 한 예 $1$ 이다 $\{H\} \in X$. 이 예는$aHa^{-1}=H$ 어떠한 것도 $a \in H$ 이후 $H$ 하위 그룹이며 $\text{Orb}(H)=H$.
하지만 그 이후로 읽었습니다. $p$ 적어도 $p-1$ 다른 크기의 궤도 $1$. 그래서 또 다른 궤도가 있어야합니다$gHg^{-1} \neq H$ 크기 $1$ 에 $X$.
내가 이해하지 못하는 것은 $gHg^{-1}$ 크기가 될 수 있습니다 $1$ 행동하에 $H$. 이것은 의미하지 않아야$\text{Orb}(gHg^{-1})=\{agHg^{-1}a^{-1} | a \in H\}$ 과 $\text{Orb}(gHg^{-1})$ 반드시 같지 않을 수도 있습니다. $gHg^{-1}$. 그러나 크기가 있어야합니다.$1$, 의미하는 것은 $\text{Orb}(gHg^{-1})$ 실제로 다음과 같아야합니다. $gHg^{-1}$.
참고로이 결과는 Rotman의 Theorem 4.6에서 나 왔으며, 여기에는 추가 조건이 부과되지 않았습니다. $H$ 과 $G$ 그 외에는 $H$ 의 하위 그룹입니다 $p$-그룹 $G$ ... 내가 여기서 무엇을 놓치고 있습니까?
답변
가장 먼저 주목해야 할 것은 $|X| = 1$ 그러면 우리는 $p-1$ 그래서 우리는 또한 가정해야 할 것입니다 $|X| \gt 1$.
우리는 우리의 진술을 증명하기 위해 다음 두 가지 궤도 속성을 사용할 것입니다.
궤도는 분리되어 있고 그 결합은 전체 세트입니다. $X$ (이것은 쉽게 볼 수 있어야합니다).
궤도 크기는 그룹 순서를 나눕니다 (이것은 Orbit-stabilizer 정리에서 입증 됨).
속성 (1)에 따라 우리는 $$|X| = \sum_{Y \in \mathcal{O}} |Y|$$ 어디 $\mathcal{O}$행동의 모든 궤도를 포함하는 집합입니다. 이제 우리는 분할$\mathcal{O}$ 두 개의 분리 된 하위 집합으로 : $\mathcal{O'}$ 과 $\mathcal{O''}$ 어디 $\mathcal{O'}$ 크기의 모든 궤도 집합입니다. $1$ 과 $\mathcal{O''}$ 크기가 다음보다 큰 모든 궤도의 집합입니다. $1$. 이것은$$|X| = \sum_{Y' \in \mathcal{O'}} |Y'| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$$ 이후 $|Y'| = 1$. 속성 (2)으로 우리는$|Y''|$ 분할 $|X| = p^n$ 과 $|Y''| > 1$ 의미하는 것은 $|Y''| = p^k$ 어디 $k > 1$ 즉 $p$ 분할 $|Y''|$. 우리는 볼 수 있습니다$X$ 그룹 활동이 그룹에 의해 활용되는 궤도로 $G$. 이것은$|X|$ 분할 $|G| = p^n$. 이후$|X| > 1$ 우리는 그것을 가지고 $p$ 분할 $|X|$. 이후$|X| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$, $p$ 또한 나누어야한다 $|\mathcal{O'}|$ 즉 $|\mathcal{O'}| = pm$ 일부 $m \gt 1$ 즉 $|\mathcal{O'}| \geq p$ 우리가 증명하려고했던 것입니다.