코끼리 무작위 걷기의 비마 코비 안성에 대한 구체적인 반례
코끼리 무작위 걷기를 고려하십시오 $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ 정의 $S_n:=X_1+\ldots+ X_n, n\in\mathbb{N},$ 누구의 증분 $X_k:=S_k-S_{k-1}$, $k\ge 1$는 다음과 같이 재귀 적으로 정의됩니다.
- 분포 $X_1$ ~에 의해 주어진다 $P(X_1=+1)=q\in(0,1)$ 과 $ P(X_1=-1)=1-q$.
- 이후에 $n\ge 2$, 정수 시간 인덱스를 무작위로 그립니다. $k\in\{1,\ldots, n-1\}$ 균일 한 확률로 $X_n:=X_k$ 확률 적으로 $p$ 과 $X_n:=-X_k$ 확률 적으로 $1-p$.
프로세스는 https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0406593.pdf이 질문에 대한 답변에서도 언급되었습니다 . 확률 론적 비 마르코프 과정의 예? .
누구든지 그 과정의 비마 코비 안성을 보여주는 과정의 궤적에 대한 구체적인 반례를 가지고 있습니까? 지금까지 비교해 보았습니다.$P(S_3=1|S_2=0)$, $P(S_4=2|S_3=1)$, $P(S_4=0|S_3=1)$, $P(S_4=0|S_3=-1)$각각의 가능한 완전한 궤적의 조건부 확률로 반례를 찾을 수 없습니다. 특히 계산 실수의 가능성을 배제하지 않기 때문에 더 많은 아이디어에 감사드립니다.
답변
내가 말할 수있는 한, 코끼리 무작위 걷기는 매우 "Markovian이 아닌 설명"을 가지고 있지만 실제로는 Markov 사슬입니다. 시간이 균질하지는 않지만 Markov 사슬에 대해 이야기하는 많은 사람들은 동질성을 가정합니다. 그건,$$ \Pr[S_n = s_n \mid S_{n-1} = s_{n-1}, S_{n-2} = s_{n-2}, \dots, S_1 = s_1] = \Pr[S_n = s_n \mid S_{n-1} = s_{n-1}] $$ 가능한 모든 궤도에 대해 $(s_1, s_2, \dots, s_n)$. 그러나 가능합니다.$m \ne n$, $$\Pr[S_n = x \mid S_{n-1} = y] \ne \Pr[S_m = x \mid S_{m-1} = y].$$
여기 내 논리가 있습니다. 우리가 계산하고 싶다면$\Pr[S_{n+1} = s+1 \mid S_n = s]$ (그리고 유사하게 $\Pr[S_{n+1} = s-1 \mid S_n = s]$, 우리가해야 할 일은 $S_n = s$ 에 $n$ 단계, $\frac{n+s}{2}$ 단계 중 $+1$ 과 $\frac{n-s}{2}$ 단계 중 $-1$. 즉, 무작위로 선택할 때$k \in \{1,2,\dots,n\}$, 우리는 $\frac{n+s}{2n}$ 선택의 기회 $k$ 와 $X_k = 1$ 그리고 $\frac{n-s}{2n}$ 선택의 기회 $k$ 와 $X_k = -1$. 전반적으로$$p \cdot \frac{n+s}{2n} + (1-p) \cdot \frac{n-s}{2n}$$ 선택을 끝낼 기회 $X_{n+1}=1$, 따라서 $S_{n+1} = s+1$.
마르코프 체인의 다른 역사 컨디셔닝는 무관하다 : 그것은 우리가 말할 수 있는 이었다 단계$+1$ 그리고 어느 것이 $-1$하지만, 우리는 이미 알고 얼마나 많은 가 각각의. 따라서 Markov 속성은 실제로 항상 유지됩니다.
그러나 위의 공식은 $n$,뿐만 아니라 $s$. 우리가$s$ 가능한 한 빨리 $n=|s|$, 우리는 모두 같은 방향으로 나아간 조치를 취 했어야합니다. $p$그 방향으로 계속 될 기회. 우리가$s$ 훨씬 나중에 $\frac{n+s}{2}$ 과 $\frac{n-s}{2}$ 서로 가깝고 어느 방향 으로든 갈 확률은 $\frac12$.
따라서 고정 된 확률 이 없습니다.$s$ ...에 $s+1$ (또는 $s$ ...에 $s-1$), 이는 Markov 체인이 시간이 동일하다면 우리가 원하는 것입니다.