Kontsevich 양자화의 연산자 추적
양자화에서 한 연구는 위상 공간의 함수에서 힐베르트 공간에서 작동하는 연산자로 매핑합니다. 그런지도 하나를 고쳐서$Q$.
변형 양자화는 $Q$ 위상 공간에 대한 함수의 선형 벡터 공간에 비교 환성 별 곱을 부여함으로써 간접적으로 연구 할 수 있습니다.
$$ f \star g = Q^{-1} \left( Q(f) \,Q(g) \right). $$
Kontsevich는 모든 조밀 한 위상 공간에 적용 할 수있는 별 제품에 대한 명시 적 공식 을 제공하고 올바른 동작을 가진 연관 대수를 제공합니다.$\hbar \rightarrow 0$한도. 따라서 Kontsevich 공식은 모든 조밀 한 symplectic manifold가 양자화를 허용한다는 것을 증명하는 오랜 문제를 해결한다고 종종 주장됩니다.
그러나 Quantum Mechanics의 또 다른 중요한 요소는 작업자의 흔적입니다. 추적은 물리적 예측을 수행하는 데 필수적입니다. 즉, 관찰 가능 항목의 기대 값은 해당 연산자에 밀도 행렬을 곱한 추적입니다.
Kontsevich 공식은 나에게 양자화 맵을 제공하지 않고 스타 제품 만 제공합니다. 그래서 어떻게 계산합니까$\text{tr} Q(f)$ 아는 것만으로 $f$?
내가 볼 수있는 한 가지 가능한 대답은 고전적인 공식이 유지된다는 것입니다. $$ \text{tr} Q(f) = \int \omega^{\wedge n} f. $$
여기 $\omega^{\wedge n} = \omega \wedge \omega \wedge \dots \wedge \omega$ Symplectic 형식과 관련된 볼륨 형식입니다. $\omega$, 적분은 위상 공간 위에 있습니다.
그러나 나는 실제로이 위상 공간 적분이 변형 양자화에서 연산자 트레이스의 대응 물이라고 확실히 말하는 사람을 들어 본 적이 없으며,이를 보여줄 좋은 주장을 내놓을 수 없습니다. $\mathcal{O}(\hbar)$ 수정 사항이 나타나지 않습니다.
내 질문은 다음과 같습니다.
- 하다 $\mathcal{O}(\hbar)$ 위상 공간 적분에 대한 수정이 일반적으로 나타 납니까?
- 그렇다면 추적에 대한 명시적인 공식이 있습니까?
- 그렇지 않다면 어떻게 확신합니까?
답변
Wikipedia 는 추적 작업을 고유하게 결정하기 위해 다음 속성을 말합니다 (최대 스칼라 배수까지).
- $\mathrm{tr}(cA) = c\mathrm{tr}(A)$
- $\mathrm{tr}(A + B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B)$
- $\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)$
모든 선형 $Q$, $\mathrm{tr} Q(f)$ 세 가지 속성을 모두 충족합니다. $\int f d\Omega $분명히 (1)과 (2)를 만족합니다. (3)에 대해 우리는$\int f \star g d\Omega = \int g \star f d\Omega $. 보여주기 쉽습니다.$O(1)$ 과 $O(\hbar)$ 충분히 좋은 조건은 사라진다 $f,g$(부분 별 통합 및 혼합 부분의 동등성 사용). 그러나 나는 Kontsevich 그래프를 충분히 이해하지 못하여이 주장을 더 높은 순서로 확장 할 수 있습니다.$\hbar$. 참조 또는 설명을 찾을 수 있으면 알려주십시오. 주장이 확장된다고 가정하면$\mathrm{tr} Q(f)$ 과 $\int f d\Omega $ 스칼라 배수와 동일합니다.
기대 값은 다음과 같습니다. $\mathrm{tr}(Q(f)\rho)$, 따라서 추적 작업을 정규화하도록 선택할 수 있습니다. $$\mathrm{tr}(\rho) = \int Q^{-1}(\rho)d\Omega = 1$$이것은 모든 물리를 고유하게 결정하기에 충분해야합니다. 당신은$O(\hbar)$ 원래 적분 공식의 항이지만 일단 밀도 행렬을 정규화하면 물리적 효과가 없습니다.