램프에 두 개의 실린더

Nov 14 2020

가벼운 실린더와 무거운 실린더의 두 개의 실린더가 있다고 가정합니다. 이제 실린더가 미끄러지지 않고 경사로 아래로 굴러 내려갑니다. 내 질문은 어느 것이 먼저 경사로 바닥에 도착할 것이며, 그 이유는 무엇입니까?

답변

2 user256872 Nov 14 2020 at 19:54

경사면에서 실린더의 순 힘을 살펴 보겠습니다.

$$ \Sigma F_{\parallel} = mg\sin{\theta} - f\tag{1}$$ 어디 $f$ 마찰력입니다.

이제 COM (회전이있는 지점)에 대한 토크는 다음과 같습니다. $$\Sigma \tau = Rf \tag{2}$$

어디 $R$원통의 반경입니다. 뉴턴의 두 번째 법칙에 따라 식 (1)과 (2)는 다음과 같습니다.

$$ ma = mg\sin{\theta} - f\tag{3}$$ $$I\alpha = Rf \tag{4}$$

미끄러지지 않기 때문에 $a = R \alpha$. 우리는$$I \dfrac{a}{R} = Rf \tag{5}$$

이제 여기에 중요한 부분이 있습니다. DENSITY가 두 실린더 모두에서 균일하다고 가정합니다. 즉 않습니다 하지 같은 질량을 의미하는 것이 아니라 그$\rho$실린더의 모든 지점에서 동일합니다. 이 경우 관성 (COM을 통과하는 축과 실린더의 각면에 대한)은 다음과 같습니다.$$I=\dfrac{1}{2}mR^2$$ 어디 $R$ 반경이고 $m$ 질량입니다.

(5)에서 그것을 대체하고, $$\dfrac{1}{2}mR^2 \dfrac{a}{R} = Rf \quad \implies \quad \dfrac{1}{2}ma = f \tag{6}$$

이제 (6)과 (3)을 결합하여

$$ ma = mg\sin{\theta} - \dfrac{1}{2}ma.\tag{7}$$

질량이 모두 상쇄되는 것을 관찰하고 우리는 $$a = \dfrac{2}{3} g\sin\theta.\tag{8}$$

(8)은 질량이나 반지름에 의존하지 않습니다. 따라서 두 실린더 모두 동일한 가속 을 경험하게됩니다 . 각 실린더의 가속도가 동일하기 때문에 (둘 다 정지 상태에서 동일한 지점에서 시작) 둘 다 질량이나 반경에 관계없이 동시에 도착합니다 (다시 말하지만 균일 한 밀도 가정).

Acccumulation Nov 15 2020 at 02:08

밀도 만 다른 두 개의 실린더가 같은 속도로 굴러 간다는 직관적 인 증거가 있습니다. 단지 같은 질량을 가진 두 개의 실린더를 겹쳐 놓습니다. 실린더는 같은 속도로 구 릅니다. 그러나 그들은 함께 두 배의 질량의 실린더를 만듭니다. 그것은 또한 같은 속도로 구르고 있습니다. 실질적인 문제로 "중첩"이라는 의미를 부여하는 것은 약간 복잡 할 수 있지만 직관적 인 관점에서 보면 증명에는 영향을주지 않습니다.