랜덤 변수의 기대 값 평가

Question

허락하다 $v_1 ,..., v_n \in \mathbb{R}^n$ 단일 및 선형 독립 벡터이고 $X_1,...,X_n$ 독립 확률 변수 (특정 확률 공간에서) $X_i$ 매개 변수의 베르누이 분포가 있습니다. $p_i \in [0,1]$.

a)하자 $Y(w)= \sum _{i=1} ^n X_i(w) v_i$, 기대치를 계산 $Z$, 어디 $Z(w)= || Y(w) -v ||^2$ 와 $v= \sum _{i=1}^n a_i v_i \in \mathbb{R}^n $.

b) V =로하자$ \{ \sum _{i=1}^n a_i v_i|a_i \in [0,1]\}$, 표시 $v \in V$ 존재하다 $y \in V$ 그런 $|| y-v||^2\le \frac{ n}{4}$ 과 $y= \sum _{i=1}^n b_iv_i$,와 함께 $b_i \in \{0,1\}$. 힌트 : a) 사용.

이 연습 문제를 온라인에서 찾았고 b) 문제를 해결하는 데 문제가 있습니다. 나는 포인트 a) 선택했습니다$( \mathbb{R}^n, B, P)$ B가 Borel 인 확률 공간으로 $\sigma $-대수 및 P는 다음의 제품 측정 값과 같습니다. $X_i$분포. 나는 Z의 기대가\begin{align}&\sum _{i=1}^n \| (1-a_i)v_i + \sum_{j=1, j \neq i}^n (-a_j)v_j\|^2 p_i \prod_{j=1, j \neq i}^n (1-p_j)\\&+\sum _{i,j=1,i<j}^n \|(1-a_i)v_i +(1-a_j)v_j+ \sum _{k=1, k \neq i,j}^n (-a_k)v_k\|^2 p_i p_j \prod _{k=1, k \neq i,j}^n (1-p_k)+\dots\\&+\|\sum_{i=1}^n (1-a_i)v_i\|^2 \prod_{i=1}^n p_i .\end{align}

a)의 내 솔루션이 올바른지 알고 b)에 대한 조언을 받고 싶습니다.

감사합니다

Answer 1

나는 b 점이 운동의 주요 이슈라고 생각하며 다음과 같이 증명 될 수있다.

a))하자 $y=\sum x_i v_i$, 어디 $x_i=1$ 확률 적으로 $p_i$ 과 $x_i=0$ 확률 적으로 $1- p_i$, 독립적으로.

그때

$$\|y-v\|^2=\|\sum (x_i-a_i)v_i\|^2=\sum_{i,j=1}^n (x_i-a_i)(x_j-a_j)(v_i,v_j). $$

그래서 $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_ip_j(1-a_i) (1-a_i)-p_i(1-p_j)(1-a_i)a_j-(1-p_i)p_ja_i(1-a_j)+(1-p_i)(1-p_j)a_iaj_j)(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i(1-a_i)^2+(1-p_i)a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\sum_{i,j=1\, i\ne j}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left(\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i, \sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right) -\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)^2(v_i,v_j)+ \sum_{i=1}^n (p_i-2p_ia_i+a_i^2)(v_i,v_i)=$$ $$\left\|\sum_{i=1}^n (p_i-a_i)v_i\right\|^2+ \sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i).$$

b)) 선택 $p_i=a_i$ 각각 $i$, 우리는 $$\Bbb E\|y-v\|^2=\sum_{i=1}^n (p_i-p_i^2)(v_i,v_i)=\sum_{i=1}^n p_i-p_i^2\le \sum_{i=1}^n \frac 14=\frac n4,$$ 점 b를 의미합니다.