라인 적분에 대한 적분 기호 아래에서 미분하기 위해 Leibniz의 규칙 사용

Question

코시의 적분 공식을 증명하기 위해 선 적분 아래에서 미분의 타당성을 증명하는 참조가 있습니까?

$$f’(w)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac d{dw}\frac{f(u)}{u-w}du$$

Answer 1

Theorem 2.27 From Folland 's Real Analysis 텍스트를 사용할 수 있습니다. 복소수에 대한 정리의 단순화 된 버전은 다음과 같이 말할 것입니다.$C,D$ 작고 $h(z,w):C\times D\to \mathbb{C}$ 모두를 위해 분석적이다 $w$, $\partial h/\partial w (z,w)$ 두 인수 모두에서 연속적입니다. $w\in D$ 그것은 다음과 같다 $$\frac{\partial}{\partial w} \int_C h(z,w) dz=\int_C\frac{\partial}{\partial w}h(z,w)dz$$

본질적으로 이것이 작동하는 이유는 $$\frac{\int_C h(z,w)dz-\int_C h(z,w_0)}{w-w_0}=\int_C\frac{h(z,w)-h(z,w_0)}{w-w_0}dz$$Folland는 위의 작업을 보장하기 위해 Dominated Convergence Theorem을 사용합니다. 우리의 경우$C\times D$ Tychonoff의 정리에 의해 간결하고 $\partial h/\partial w (z,w)$ 계속된다 $C\times D$, 다음 $|\partial h/\partial w (z,w)|$ 상수에 의해 경계가 지정됩니다. $M$. 이후$C$ 유한 측정 (압축)이 있습니다. $M\in L^1(C)$ 그래서 우리는 적분 부호 아래의 차별화를 정당화하기 위해 Dominated Converges를 자유롭게 사용할 수 있습니다.

귀하의 경우에는 $C$콤팩트 한 원입니다. 이제$f(u)/(u-w)$, 이것이 압축 세트에 정의되어 있지 않다고 말할 수 있지만, 값을 제한하면 $w$ 작은 닫힌 디스크와 값 $u$ 우리의 기능은 다음과 같은 형식의 도메인에 정의됩니다. $C\times D$ 어디 $C,D$ 컴팩트합니다.

Answer 2

여기서 신중한 증거를 찾을 수 있습니다.

여기에 또 다른 방법이 있습니다. 멱급수에 대한 간단한 사실을 사용하여 정수를 수정했습니다. $n,$ 그리고 쓰기 $f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k(z-w)^k$ 내부 $C,$ 우리는

$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}(z-w)^{n+1}\Rightarrow \frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}=\sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}.$

그것은 다음과 같습니다 $\displaystyle \int_C\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}dz=2\pi i a_k.\ $ 그러나 $a_k=\frac{f^{(k)}(w)}{k!}.\ $ 결과는 다음과 같습니다.