라플라스 변환 : 적분 대 극점 및 영점
라플라스 변환이 다음과 같이 표현되는 경우 :
$$\int_{-\infty}^{+\infty} h(t)e^{-st}dt $$
와 함께 :
$$s = \sigma + j\omega$$
과 $h(t)$ 임펄스 응답은 다음과 같이 표현됩니다.
$$h(t) = Ae^{-\sigma_0t}\cos(\omega_0t+\phi) = e^{-\sigma_0t}\cos(\omega_0t)$$ ($A=1$ 과 $\phi = 0$ 단순화를 위해 $h(t)=0$ 만약 $t<0$)
그런 다음 각 수직선 (가상 축에 평행) $s$ 평면은 다음의 푸리에 변환에 해당합니다. $f(t) = h(t)e^{-\sigma t}$ 고정 $\sigma$.
에 대한 $\sigma = -\sigma_0$, 붕괴 지수 $h(t)$ 취소되고 푸리에 변환 * $h(t) = \cos(\omega_0t)$, 즉 : diracs at $\omega_0$ 과 $-\omega_0$ (정확하지 않음, 바로 아래 (*) 참조), 따라서 두 극 : $-\sigma_0 + j\omega_0$ 과 $-\sigma_0 - j\omega_0$ 다음 그림에서와 같이 (그림 만, 기둥이 올바르게 위치하지 않음) :
실제로 다음을 이해할 수 있습니다.
(*) 다음은 정확하지 않습니다. $h(t) = 0$ 만약 $t<0$, 우리는 양측이 아닌 일방적 인 라플라스 변환을 사용해야합니다! 그래서 여기서 우리는 양측 (디락 만있는) 하나가 아닌 정현파의 일측 푸리에 변환을 얻을 것입니다! 이것이 무엇인지 확인하려면 수락 된 답변 끝에 제공된 링크 를 참조하십시오.
$$\int_{-\infty}^{+\infty} h(t)e^{-j\omega t}dt $$ $$= \int_{-\infty}^{+\infty} \cos(\omega_0t)e^{-j\omega t}dt$$ $$= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{j\omega_0t}-e^{-j\omega_0t}}{2}e^{-j\omega t}dt$$ $$= \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{j(\omega_0-\omega)t}-e^{-j(\omega_0+\omega)t}dt$$
만약 $\omega = \omega_0$ 또는 $-\omega_0$, 적분은 $$\int_{-\infty}^{+\infty} e^0dt $$ 구성원, 따라서 s 평면의 극.
따라서 The Scientist and Engineer 's Guide to DSP (아래 그림 참조) 의 ch.32, p.24에서 볼 수 있듯이 Laplace 변환을 사용하여$h(t)$ 와 $e^{-st}$ = $e^{-\sigma}e^{-j\omega}$, 그것은 우리가 곱합니다 $h(t)$ 다음 중 하나 인 정현파를 사용합니다.
- (a) 기하 급수적으로 감소 ($\sigma$ > 0)
- (b) 안정적 ($\sigma = 0$)
- (c) 임펄스 응답 감쇠보다 기하 급수적으로 느리게 성장합니다 ($ -\sigma_0 < \sigma < 0$)
- (d) 기하 급수적으로 증가하여 임펄스 응답 감쇠를 보상합니다 ($\sigma = -\sigma_0$) : 좋습니다. 위에서 연구 한대로.
- (e) 기하 급수적으로 빠르게 성장 ($\sigma < - \sigma_0$ 과 $\sigma < 0$)
(문자는 아래 그림에 표시된 s 평면의 점 쌍에 해당하며 항상 고정 된 $\omega$ 또는 $-\omega$ 값)
나는 경우 d를 이해한다 : 우리는 지수 부분을 취소하기 때문에 정현파 의 (일방적 !!) 푸리에 변환 만을 얻습니다 . 즉 : 무한대$\omega_0$ 과 $-\omega_0$ 따라서 극점 (나는 우리가 왜 무한한 값을 가진 오메가의 연속적인 기능을 가지고 있는지 모르겠지만 $\omega_0$ 과 $-\omega_0$정현파의 원래 푸리에 변환에서와 같이 dirac 대신 -> 우리는 일방적 라플라스를 사용하므로 푸리에를 사용하므로 허용 된 답변의 끝을 참조하십시오! ).
사례 a, c 및 e는 직관적입니다. 경우 a, 우리는 곱합니다$h(t)$쇠퇴하는 지수로. 적분은 유한 복소수 값이됩니다 (모든 값에 대해$\sigma > 0$. c의 경우, 우리는 감소하는 지수보다 느리게 증가하는 지수를 곱합니다.$h(t)$, 따라서 적분에 대한 유한 복소수 값 (의 모든 값에 대해 $-\sigma_0 < \sigma < 0$). e의 경우, 우리는$h(t)$ 지수보다 빠르게 증가하는 지수에 의해 $h(t)$ 붕괴 : 따라서 적분은 수렴되지 않습니다 (모든 값에 대해 $\sigma < -\sigma_0$).
그러나 경우 b의 경우 곡선 아래 영역 (위 그림에서 빨간색)과 같이 적분이 0이되는 이유를 알 수 없습니다. 즉, s 평면의 수직선을 이해합니다.$\sigma = -\sigma_0$, 그것은 푸리에 변환이다 $h(t)e^{-\sigma_0 t}$ 그래서 그것은 푸리에 변환입니다 $h(t)$지수 성분이 제거되면 정현파로 인해 2 극이됩니다. 우리는 언제든지 극을 얻습니다.$e^{-st}$임펄스 응답과 동일합니다 (보상). 그러나 푸리에 변환의 원인은$h(t)e^{-\sigma t}$ 어떤 경우에는 0으로 $\omega$? 어느 것을 위해$h(t)$ 그리고 그것이 곡선 아래 영역에 어떻게 영향을 미칠 것인가 (적분)?
답변
사용중인 라플라스 변환의 정의 는 일방적 라플라스 변환 보다 덜 일반적인 양방향 라플라스 변환 이라고합니다 . 둘의 차이점은 첫 번째는 적분 한계가 더 낮다는 것입니다.$-\infty$ 두 번째는 하한이 $0$. 고려중인 신호가 다음에 대해 0이면이 차이는 관련이 없습니다.$t<0$. 이것은 책의 예의 경우입니다. 그러나 임펄스 응답의 양측 라플라스 변환은$h(t)$ 귀하의 질문에서 정의한 것은 어떤 값에도 존재하지 않습니다. $s$. 설정하면 존재합니다.$h(t)$ 0으로 $t<0$ (즉, 단위 단계로 곱하십시오 $u(t)$).
이 책의 수치는 인과 노치 필터를 나타냅니다. 해당 임펄스 응답의 라플라스 변환의 수렴 영역 (ROC)은 극의 오른쪽에 있습니다. 따라서, 라플라스 변환에서 평가 된 임의 의 고정 된 값$s$극의 오른쪽에있는 것은 우리가 ROC 내부에 있기 때문에 유한합니다. 즉, 적분이 수렴합니다. 우리가 선택한다면$s$정확히 필터의 0에서 우리는 단순히 "노치 주파수"의 정의에 의해 0이어야하는 노치 주파수에서 필터의 응답을 평가합니다. 해당 주파수에서 신호에 대한 필터의 응답은 0이어야합니다. 마지막으로 값을 선택하면$s$ 정확히 필터의 극점 또는 왼쪽에있는 ROC 외부에 있으며이 경우 적분은 수렴되지 않습니다.
적분이 왜 갈라 지거나 유한 한 복잡한 값이 있는지에 대한 정보를 추가하기 위해 원본 게시물이 업데이트되었습니다.
다음을 고려하면 그림 32.5 (원래 질문)를 이해할 수 없습니다 (특히 "b. 정확한 취소").
$$ h(t) = e^{-\sigma_0t}\cos{\omega_0t} $$
($h(t) = 0$ ...에 대한 $t<0$)
$h(t)$그림에서. 32-5는 단순한 지수 감소 정현파가 아닙니다. 만약 그렇다면 적분은 원래 질문에서 제기 된 것처럼 s의 값에 대해 실제로 0과 같을 수 없습니다.
대신 Matt L.이 지적한대로 $h(t)$노치 필터의 임펄스 응답입니다. 이것이 왜 일부에 대해 적분이 0이되는지를 이해하는 데 어떻게 도움이됩니까?$s$? 글쎄요,이 임펄스 반응은 그 안에 dirac (그리고 지수 적으로 감소하는 정현파의 조합)을 갖는 특이성을 가지고 있습니다! 그리고 그림 32-5에주의를 기울이면이 dirac은 실제로 임펄스 응답에 표시됩니다 (세로축이라고 생각하면 놓친 것입니다 ...). 아래 그림을 참조하십시오.
그리고 지수 적으로 감소하는 정현파 성분 아래의 영역을 보상하는 것은이 dirac 아래 영역입니다. $h(t)$ 적절한 값을 위해 $s$, 따라서 0!
여기에 관련된 계산과 임펄스 응답에서 dirac의 물리적 의미에 대한 자세한 설명은 이 질문에 대한 답변을 참조하십시오 .
또 다른 질문은 다음과 같습니다.
(정현파의 원래 푸리에 변환에서와 같이 dirac 대신 ω0 및 −ω0에서 무한 값을 갖는 오메가의 연속 함수가있는 이유는 모르겠지만).
나는 이것이 양측이 아닌 일방적 인 라플라스 변환이 있기 때문이라고 생각합니다. 실제로이 예 에서 사인파의 일방적 인 푸리에 변환을 참조하십시오 . 그것은 마치 우리가 단위 단계 함수에 사인파를 곱한 것과 같습니다. 따라서 사인파의 일방적 인 푸리에 변환은 단위 단계 함수의 푸리에 변환에 의해 뒤얽힌 사인파의 푸리에 변환입니다 (주어진 링크의 세부 사항 참조). 이것이 주어진 수직 슬라이스 (고정 된$\sigma$) 의 $s$ 평면에서 우리는 일반적인 푸리에 변환을 얻지 못하지만 일방적 인 변환을 얻습니다. 약간 다릅니다.