$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{E_k}f(x)dx=0$ 암시 $\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=0$

Question

허락하다 $f$ Lebesgue에서 측정 할 수있는 기능이어야합니다. $[0,1]$ 와 $f(x)>0$거의 모든 곳
에서$\{E_k\}_k$ Lebesgue 측정 가능한 세트의 시퀀스입니다. $[0,1]$ 그런 $$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{E_k}f(x)dx=0$$ 보여줘 $\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=0$

내 관찰 :
Let$A_n=\bigcup\limits_{k=1}^n E_k$
그때 $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$증가하는 측정 가능한 하위 집합의 셀 수있는 모음입니다. 과$\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} E_k=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n$

또한 $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ 증가하는 세트의 순서입니다. $$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{A_n}f(x)dx=\int\limits_{\bigcup A_n}f$$

또한 별도로 우리는

$\begin{align} m(\bigcup E_n)&= m(\bigcup A_n)\\&=\lim\limits_{n\to\infty}m(A_n)\\&=\lim\limits_{n\to\infty}m(\bigcup\limits_{k=1}^n E_k)\\ \end{align}$

그러나 최종 답변에 도달하기 위해 이러한 세부 정보를 사용하는 방법을 볼 수 없습니다.
당신의 도움을 주셔서 감사합니다

Answer 1

허락하다 $B_n=\{x\mid f(x)>1/n\}$. 그런 다음 각각$B_n$ 측정 가능한 세트이며 $B=\cup B_n$가정에 의해 측정 값 1이 있습니다. 이제 측정$E_k\cap B_n$ 로 이동 $0$ 같이 $k\to \infty$ 모든 $n$. 그래서$$\lim_{k\to \infty} m(E_k\cap B)=\lim_{k\to \infty} m(E_k)=0.$$