리만 합을 사용한 제한 [중복]

Question

다음 제한을 해결하는 데 문제가 있습니다.

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n}$$

이 질문은 "Riemann Sum" 섹션에 있으므로 이것을 적분으로 바꿔야 한다고 생각합니다. 따라서 다음과 같습니다.

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n} \sqrt [n] {e^k} = \int_a^b f(x) dx$$

내 생각에는$n$는 파티션의 수이고$1/n$는 각각의 길이이므로 다음을 의미합니다.$b - a = 1$또는$b = a+1$, 값만 찾으면 됨을 의미합니다.$a$그리고$b$그럴거야$+1$. 하지만 지금은 가치를 찾지 못하는 것 같습니다.$a$...도 아니다$f(x)$. 이 문제를 어떻게 해결할 수 있습니까?

Answer 1

참고$\sqrt[n]{e^k}=e^{k/n}$따라서$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^ne^{k/n}=\int_0^1e^x\,\mathrm dx=e-1.$$