링의 프라임 스펙트럼 : Geometry가 로컬 링으로 캡처되는 이유는 무엇입니까?
함수 $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ 연속적입니다. $f$소실되지 않는 모든 지점에서 국부적으로 반전이 가능합니다. 즉, 모든 포인트에 대해$x_0$ 그런 $f(x_0) \neq 0$, 열린 이웃이 있습니다. $U$ 의 $x_0$ 및 기능 $g: U \rightarrow \mathbb R$, 모두를 위해 $u \in U$, $(f \times g)(u) = f(u) \times g(u) = 1$.
그 반대가 사실입니까? 소실되지 않는 모든 지점에서 국부적으로 반전 가능한 기능이 연속적입니까?
그렇지 않은 것 같습니다. 기능 고려$ f(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb Q \\ 2 & \text{otherwise} \end{cases} $
이것은 역함수를 가지고 있습니다 $ g(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb Q \\ 1/2 & \text{otherwise} \end{cases} $
비록 $f$모든 곳에서 불 연속적입니다. 그래서 분명히,이 지역적으로 반전 가능한 정의는 우리에게 지속적인 기능을 제공하는 것과는 거리가 멀습니다.
나는 지금 반지의 스펙트럼에 대해 의욕이 없다. 고리의 스펙트럼에서 구조 뭉치의 정의에 동기를 부여하는 것은이 "로컬 반전"속성입니다. 에$\operatorname{Spec}(A)$, 포인트 (프라임) 주변의 함수 고리 $\mathfrak p$ 이다 $A_\mathfrak p$. 따라서 0이 아닌 모든 기능 (링 요소)$\mathfrak p$ 로컬라이제이션을 통해 역전 될 수 있습니다.
그러나이 정의는 우리가 원하는 것을 실제로 포착 할만큼 충분히 강하지 않은 것 같습니다.-그것은 원래 공간의 구조를 회복 할 수없는 많은 병리학 적 기능 고리를 허용합니다. 함수의 링이 Urhyson의 기본형을 적용하기 위해 연속 함수가 필요하다는 점을 감안할 때 원래 공간을 복구하는 것이 무엇인지 알고있는 증거 [이는 Atiyah Macdonald, 1 장, 연습 26에서 찾을 수 있음)
내가 무엇을 놓치고 있습니까?
답변
아무데도 사라지지 않는 (실제 또는 복잡한 값) 연속적이거나 지속적으로 미분 할 수 있거나 평활하거나 분석적인 등의 함수가 동일한 범주에서 곱셈 역수를 갖는 것은 사실입니다. 또한 연속성에 의해 함수는 닫힌 세트에서만 사라질 수 있습니다. 따라서 위상 공간에서 이러한 기능의 뭉치는 줄기가 국소 고리라는 특성을 가지고 있습니다. 우리가 합리적 함수를 갖는 고전적인 방식으로 정의 된 환원 불가능한 대수적 품종의 경우 정규 함수 뭉치는 동일한 속성을 갖습니다. 반드시 환원 불가능한 대수적 품종에 대해 우리는 합리적 함수에 대해 실제로 이야기 할 수는 없지만 환원 불가능한 유사 대수적 품종에 대한 정규 함수 뭉치에 대한 면밀한 분석은 처음에 합리적인 함수를 통해 갈 필요가 없음을 보여줍니다. 우리는 일반적인 아핀 체계의 구조 뭉치의 정의에 도달합니다. 줄기가 국부 고리라는 사실은 어떤 의미에서 우연입니다.
허락하다 $k$ 대수적으로 닫힌 필드이고 $X$ 의 일부가되다 $k^n$. 이 답변하는의 목적을 위해 정기적 인 기능 에$X$ 기능이다 $f : X \to k$ 다항식이 존재하는 $p$ 과 $q$ 위에 $k$ 그런 $q (x) \ne 0$ 모든 $x \in X$ 과 $f (x) = p (x) / q (x)$ 모든 $x \in X$. 허락하다$\mathscr{O} (X)$ 일반 기능의 집합 $X$. 그때:
만약 $X$ 축소 할 수없는 닫힌 하위 집합입니다. $k^n$, 다음 할당 $U \mapsto \mathscr{O} (U)$, 어디 $U$ 오픈 서브 세트에 따라 다릅니다. $X$, subsheaf를 정의 $\mathscr{O}_X$ 뭉치의 $k$값을 갖는 함수 $X$.
실제로 여기서 확인해야 할 주장이 있습니다. 즉, 함수의 규칙 성은 로컬 속성이라는 것입니다.하지만 저는 여러분에게 맡깁니다. 위의 정의가 필요합니다.$X$ 삽입 될 $k^n$, 그러나 이것은 실제로 불필요합니다. 첫째 :
만약 $X$ 닫힌 하위 집합입니다. $k^n$ 과 $f : X \to k$ 정규 함수이면 다항식이 있습니다. $p$ 위에 $k$ 그런 $f (x) = p (x)$ 모든 $x \in X$.
더 일반적으로:
허락하다 $X$ 폐쇄 된 부분 집합 $k^n$, 허락하다 $q$ 다항식이다 $k$, 그리고 $U = \{ x \in X : q (x) \ne 0 \}$. 만약$f : U \to k$ 정규 함수이면 양의 정수가 있습니다. $m$ 및 다항식 $p$ 위에 $k$ 그런 $f (x) = p (x) / q (x)^m$ 모든 $x \in X$.
또한 $U$ 밀도가 높다 $X$, 다음 고유 동형 $k [x_1, \ldots, x_n, u] \to \mathscr{O} (U)$ 배상 $x_1, \ldots, x_n$ 각각의 좌표 기능에 $U \to k$ 과 $u$ 일반 기능에 $U$ 정의 $1 / q$ 커널 있음 $(I (X) + (q u - 1))$, 어디 $I (X)$ 다항식의 이상은 $X$.
사실, 이후 $f : U \to k$ 정규 함수이며 다항식이 있습니다. $p_1$ 과 $q_1$ 그런 $q_1 (x) \ne 0$ 모든 $x \in U$ 과 $f (x) = p_1 (x) / q_1 (x)$ 모든 $x \in U$. Nullstellensatz에 의해$\sqrt{I (X) + (q_1)} \supseteq \sqrt{I (X) + (q)}$; 특히 양의 정수가 있습니다.$m$ 과 $r \in k [x_1, \ldots, x_n]$ 과 $s \in I (X)$ 그런 $q_1 r + s = q^m$. 그 후,$$\frac{p_1 (x)}{q_1 (x)} = \frac{p_1 (x) r (x)}{q_1 (x) r (x)} = \frac{p_1 (x) r (x)}{q (x)^m}$$ 모든 $x \in U$, 그래서 우리는 $p = p_1 r$.
일반적인 요소가 주어지면 $k [x_1, \ldots, x_n, u]$, 말 $p_0 + p_1 u + \cdots + p_m u^m$, 어디 $p_0, \ldots, p_m$ 다항식입니다 $x_1, \ldots, x_n$ 위에 $k$, 우리는 $$p_0 (x) + \frac{p_1 (x)}{q (x)} + \cdots + \frac{p_m (x)}{q (x)^m} = 0$$ 모든 $x \in U$ 경우에만 $$p_0 (x) q (x)^m + p_1 (x) q (x)^{m - 1} + \cdots + p_m (x) = 0$$ 모든 $x \in U$. 이후$U$ 밀도가 높다 $X$, 두 번째 방정식은 실제로 모두에 적용됩니다. $x \in X$, 그래서 $$p_0 q^m + p_1 q^{m - 1} + \cdots + p_m \in I (X)$$ 따라서 $$p_0 + p_1 u + \cdots + p_m u^m \in I (X) + (q u - 1)$$필요에 따라. ■
이 모든 것의 결론은 $X$ 축소 할 수없는 닫힌 하위 집합입니다. $k^n$, 다음 뭉치 $\mathscr{O}_X$ 링에서 재구성 가능 $\mathscr{O} (X)$ 최대 이상 사이의 bijection과 함께 $\mathscr{O} (X)$ 및 포인트 $X$: 위는 주 오픈 서브 세트에 대해 $U \subseteq X$, 즉 $U = \{ x \in X : f (x) \ne 0 \}$ 일부 $f \in \mathscr{O} (X)$, 반지 $\mathscr{O} (U)$ 의 지역화입니다 $\mathscr{O} (X)$ 곱셈 집합과 관련하여 $\{ 1, f, f^2, \ldots \}$. 제한 맵이 확실한 것인지 쉽게 확인할 수 있습니다. 주요 오픈 하위 집합 이후$X$ 토폴로지의 기초를 형성 $X$, 이것은 뭉치를 결정합니다 $\mathscr{O}_X$. 비 최대 프라임 이상의 도입을 모듈로, 이것이 일반적인 아핀 체계를위한 구조 뭉치를 만드는 방법입니다.