매니 폴드에서 규정 된 이웃 찾기

Question

매끄러운 매니 폴드가 주어지면 오픈 세트의 경우 $U\subset M$ 우리는 항상 닫힌 세트를 찾을 수 있습니다 $\bar{B}\subset U$ 그런 $B$ 어떤 지점의 이웃입니다 $p\in U$.

내 시도 : 이후 $M$ 일반 공을 기본으로하고 있습니다. $B\subset U$ 일반 공이므로 다른 공 $B'$ 그런 $\bar{B}\subset B'$. 그러나 그것을 보여주는 방법은$U$?

Answer 1

고르다 $p\in U$ 그리고 좌표 공을 선택 $V\ni p$ 와 $V\subseteq U$. 이 공을 선택하여 이형이 있도록 할 수 있습니다.$\phi:V\to B_r(0)\subseteq \Bbb{R}^n$. 그런 다음 설정 $W=\phi^{-1}(B_{r/2}(0))$을 클릭 한 다음 $\overline{W}\subseteq U$ 그리고 그 $W$ 이웃입니다 $p$.

참고 : 첫 번째 선택 $V$ 좌표 오픈 세트에 의한 기초가 있기 때문에 가능합니다.