매핑 $f(z)$

Question

기능하자 $f$ 복잡한 평면에서 분석적이어야하며 실제 축에서 실제, 원점에서 0이고 동일하게 0이 아닙니다.

증명한다면 $f$ 가상 축을 직선으로 매핑 한 다음 해당 직선은 실제 축 또는 가상 축이어야합니다.

내 노력 : $f(z)$ 분석적 iff $g(z)= \overline{f(\bar z)}$ 또한 분석적입니다.$f(z)$ ~와 일치하다 $g(z)$실제 축에서. 순서를 고려하십시오${1/n}$0으로 수렴합니다. 이제 신원 정리를 사용하여 결론을 내릴 수 있습니다.$f(z)=g(z)$ 복잡한 평면에서. $g(z)$ 가상 축을 가상 축에 매핑하므로 $f(z)$. 나는 언제 이해할 수 없다$f$ 가상 축을 실제 축에 매핑합니다.

Answer 1

허락하다 $k \ge 1$ 0의 순서 $f$원점에서; 분석 함수의 로컬 형식으로$0$즉, $f(z)=cz^k+O(z^{k+1}), c \ne 0$, 바로 뒤에 $f$ 각도를 변형 $\theta$ 원점을 통과하는 두 곡선 사이에서 각도까지 $k\theta$ (특히 $f$ 원점에서 정확히 일치합니다. $k=1$)

실제 축과 가상 축 사이의 각도는 $\pi/2$, 이미지 사이의 각도는 $k\pi/2$, 그래서 가설에 의해 가상의 축은 $k\pi/2$ 일부 정수에 대한 실제 축과 각도 $k \ge 1$ 그런 선이 두 개뿐입니다. 가상 축과 실제 축은 $k$ 이상하거나 짝수이므로 끝났습니다.

$z^2, z^4$ 가설을 충족하고 가상 축이 실제 축으로 전송되는 예입니다 (한 경우에는 두 이미지가 서로 분리되어 있지만 0에서는 두 개의 반선이되고 다른 하나에서는 일치합니다. 실제 이미지는 또는 아래의 가상 축 $f$ 전송되는 전체 라인에 있지 않을 수도 있습니다.) $z$ 자신에게 전송되는 예입니다.