매핑의 시간 미분 $t \mapsto P_tf(x)=\mathbb{E}^x(f(X_t))$ -극소 생성기

Question

아무도 방정식을 설명해 주시겠습니까 $1$ 이것에 https://math.stackexchange.com/a/697412/767953더 간단한 형태로? 또한 나는 방정식에서 어떻게 이해할 수 없습니다$1$ 우리는 그것을 볼 수 있습니다 $u$ 열 방정식의 해입니다.

Answer 1

힌트

\ begin {align} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} P_tf (x) & = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {P_ {t + h} f (x) -P_tf (x)} {h} \\ & = \ lim_ {h \ to 0} P_t \ left (\ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_t \ left (\ lim_ {h \ to 0} \ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_tAf (x) \\ & = AP_tf (x). \ end {align} 각 평등을 숙제로 정당화 할 수 있습니다. 다른 질문에 대해 다음과 같이 주어지면 브라운 운동의 극소 한 생성기가 증명할 수 있습니다.$$Af(x)=\frac{1}{2}\Delta f(x).$$ 이것이 당신에게 명확하지 않다면 숙제로하십시오.