만약 라인이 $FP$ 과 $GQ$ 교차하다 $M$, 다음 $\angle MAC = 90^\circ$.

Question

볼록 순환 사변형에서 $ABCD$, 우리는 라인을 알고 $AC$ 과 $BD$ 교차하다 $E$, 라인 $AB$ 과 $CD$ 교차하다 $F$및 라인 $BC$ 과 $DA$ 교차하다 $G$. circumcircle의$\triangle ABE$ 선과 교차 $CB$ ...에서 $B$ 과 $P$, 및 circumcircle $\triangle ADE$ 선과 교차 $CD$ ...에서 $D$ 과 $Q$, 어디 $C,B,P,G$ 과 $C,Q,D,F$그 순서대로 동일 선상에 있습니다. 만약 라인이$FP$ 과 $GQ$ 교차하다 $M$, 다음 $\angle MAC = 90^\circ$.

내 진행 :

주장 :$PBQD$ 순환 적이다

증거 : 참고$CQ\cdot CD=CE\cdot CA=CB\cdot CP \implies PQDB$ 주기적입니다.

주장 :$APQC$ 순환 적이다

증명 : 각도 추격! 이것이 사실이기 위해서는$\angle AEB=\angle AQC$ 또는 그것을 보여주는 것으로 충분합니다 $\angle AEB=\angle AQC $ 또는 그것을 보여주는 것으로 충분합니다 $\angle AED=\angle AQD$ 그 이후로 사실입니다 $AEDQ$ 주기적입니다.

주장 :$E\in PQ$

증명 : 충분히 보여주기에$\angle AEQ+\angle AEP=180 $

또는 그것을 보여주기에 충분 $180- \angle ADC + \angle AEP=180 $

또는 그것을 보여주기에 충분 $\angle ADC= \angle ABC$ , 이후 사실입니다. $ABCD$ 주기적입니다.

그 후 나는 붙어 있습니다.

나는 그것을 관찰했다 $FG , AM, PQ$동의했지만 증명할 수 없었습니다. 누군가 힌트를 줄 수 있습니까?

미리 감사드립니다.

Answer 1

끝낸 부분부터 계속합니다 ...

그래서 우리는 $PBDQ$ 순환 및 $E\in PQ$. 이제 사변형에 집중$PBDQ$. 정의에서$A$ 사변형의 Miquel Point $PBDQ$. 이제$X:=PD\cap BQ$ 따라서 Miquel 포인트 속성에 의해 $A$ 투영이다 $X$ 의 위에 $CE$. 따라서$M,A,X$동일 선상에 있지만 이것은 사소합니다. Pappus Theorem을$\{PGB,QFD\}$ 증거를 완성합니다. $\blacksquare$