만약 $p$ 홀수 소수입니다 $p ≡ 3(\mod 4)$, 다음 $(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}$

Question

사실인지 증명하십시오. 거짓이면 반례를 제시하십시오. 만약$p$ 홀수 소수입니다 $p ≡ 3(\mod 4)$, 다음 $$(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}.$$

증명. $p ≡ 3(\mod 4)$ 암시 $4|p-3$. Wilson의 정리는 다음과 같이 말합니다. p가 소수이면$$(p-1)! + p\mathbb{Z} = -1 + p\mathbb{Z}$$ 또는 동등하게 $$(p-1)! ≡ -1(\mod p).$$ 후자는 의미 $$p|(p-1)!+1.$$

나는 거기에서 어디로 가야할지 또는 그것이 올바른 접근 방식인지 확실하지 않습니다.

Answer 1

Wilson의 정리에서 우리는 $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$,

따라서 증명하는 것으로 충분합니다. $$(-1)^{\frac{p-1}2}=-1$$

증명하는 것과 같습니다. $\frac{p-1}2$ 홀수

만약 $p = 4k+3$, 다음 $$\frac{p-1}{2}=\frac{4k+2}{2}=2k+1$$ 이것은 홀수입니다.