$\mathbb N$ 필드입니다
우리는 bijection을 찾습니다 $\phi$ 중에서 $\mathbb N$ 과 $\mathbb Q$. 따라서 덧셈과 곱셈을$\mathbb N$ (그런 $\phi$ 동형이 됨) 변형 $\mathbb N$ 필드로.
내 추론에 실수가 있습니까?
답변
필드는 단순한 집합 이 아니라 몇 가지 추가 구조 (두 필드 작업) 와 함께 집합 입니다. 그래서 그것은 사실이 아닙니다$\mathbb{Q}$ 필드입니다. $(\mathbb{Q};+,\times)$ 필드입니다.
Bijections를 사용하면 "전송 구조"를 사용할 수 있습니다. $\oplus,\otimes$ 일부 세트에 대한 이진 연산입니다. $A$ 그런 $(A;\oplus,\otimes)$ 필드이고 $f:A\rightarrow B$bijection입니다, 우리는 줄 수 있습니다$B$자연스러운 방식으로 필드 의 구조 : 작업 고려$\hat{\oplus}$ 과 $\hat{\otimes}$ 주어진 $$x\hat{\oplus} y=f(f^{-1}(x)\oplus f^{-1}(y))\quad\mbox{and}\quad x\hat{\otimes}y=f(f^{-1}(x)\otimes f^{-1}(y))$$ ...에 대한 $x,y\in B$. 하지만 세트 $B$그 자체는 필드가 아닙니다. 오히려 구조 $(B; \hat{\oplus},\hat{\otimes})$ 필드입니다.
특히 평소 들어 올릴 때 $+$ 과 $\times$ 당신이 좋아하는 bijection을 따라 $h:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{N}$, 우리는 작업을 얻습니다 $\hat{+}$ 과 $\hat{\times}$ 그런 $(\mathbb{N};\hat{+},\hat{\times})$필드이지만 이러한 연산은 매우 이상하게 보일 것입니다. 특히 우리가 익숙한 자연수의 일반적인 덧셈 및 곱셈과는 완전히 다릅니다. 따라서이 결과와 사실 사이에는 긴장감이 없습니다.$(\mathbb{N};+,\times)$분명히 필드 가 아닙니다 .
실수가 없습니다. 실제로 무한 세트는 필드로 바뀔 수 있습니다. 정의한 작업은$\mathbb N$ 이 방법은 자연수의 일반적인 덧셈 및 곱셈과 반드시 다를 것입니다 (일반적인 연산에서 자연수는 필드가 아니기 때문입니다).
일반적인 대각선 매핑을 사용하지만 양수 값과 음수 값을 번갈아 가며 "최저 조건이 아닌 분수"의 중복 표현을 건너 뛰면 처음 몇 개의 항이 다음과 같은 bijection을 가질 수 있습니다.
$$1\mapsto 0; 2\mapsto 1;3\mapsto -1; 4\mapsto 2;5\mapsto -2; 6\mapsto \frac 12; 7\mapsto -\frac 12; 8\mapsto 3;9\mapsto -3;10\mapsto \frac 13;11\mapsto -\frac 13; 12\mapsto 4;13\mapsto -4; 14\mapsto \frac 32; 15\mapsto -\frac 32; 16\mapsto \frac 23; 17\mapsto -\frac 23; 18\mapsto \frac 14;19\mapsto -\frac 14... etc...$$
지금 이것은 이다 필드는. 추가적 정체성은$1$ 과 $1 + k = k+1 = k$ 모든 $k \in \mathbb N$.
모든 가치, $k$ 덧셈 역이 있습니다. $-k$ 그래서 $k+(-k)= 1$. 예를 들어 덧셈의 역$4$ 이다 $-4 =5$ 과 $4+5 = 1$. 마찬가지로$-11 = 10$ 과 $11 + 10 = 1$.
곱셈 적 정체성은 $2$ 과 $2\cdot k = k\cdot 2 = k$ 모든 $k \in \mathbb N$.
그리고 모든 가치에 대해 $k$ 외 $1$, 곱셈 역이 있습니다. $\frac 1k$ 어디 $k\cdot \frac 1k = 2$. 예를 들면$\frac 14 = 6$ 과 $4\cdot 6 = 2$.
등등.
내가 한 모든 것은 "평범한"유리수를 그들에 매핑하는 것으로 대체했기 때문에이 모든 것이 의미가 있습니다. 내가 메모하면$k \color{blue}{\mapsto m}$ 내가 "정말"의 의미를 표현하고 위에 쓴 내용을 잘라내어 붙여 넣는 것은 다음과 같습니다.
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지금 이것은 이다 필드는. 추가적 정체성은$1\color{blue}{\mapsto 0}$ 과 $1\color{blue}{\mapsto 0} + k = k+1\color{blue}{\mapsto 0} = k$ 모든 $k \in \mathbb N$.
모든 가치, $k$ 덧셈 역이 있습니다. $-k$ 그래서 $k+(-k)= 1\color{blue}{\mapsto 0}$. 예를 들어 덧셈의 역$4\color{blue}{\mapsto 2}$ 이다 $-4\color{blue}{\mapsto 2} =5\color{blue}{\mapsto -2}$ 과 $4\color{blue}{\mapsto 2}+5\color{blue}{\mapsto -2} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$. 마찬가지로$-11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} = 10{\mapsto \frac 13}$ 과 $11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} + 10\color{blue}{\mapsto \frac 13} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$.
곱셈 적 정체성은 $2\color{blue}{\mapsto 1}$ 과 $2\color{blue}{\mapsto 1}\cdot k = k\cdot 2\color{blue}{\mapsto 1} = k$ 모든 $k \in \mathbb N$.
그리고 모든 가치에 대해 $k$ 외 $1\color{blue}{\mapsto 0}$, 곱셈 역이 있습니다. $\frac 1k$ 어디 $k\cdot \frac 1k = 2\color{blue}{\mapsto 1}$. 예를 들면$\frac 1{4\color{blue}{\mapsto 2}} = 6\color{blue}{\mapsto \frac 12}$ 과 $4\color{blue}{\mapsto 2}\cdot 6\color{blue}{\mapsto \frac 12} = 2\color{blue}{\mapsto 1}$.
등등.