Mathematica는 삼각 적분 ( $\sec^3$) 증명할 수없는 형태로

Aug 16 2020

부정적분은 물론 $1/2 ( \sec(x) \tan(x) + \ln | \sec(x) + \tan(x) | ( + C)$.

Mathematica는 다음을 제공합니다.

Integrate[Sec[x]^3, x]

1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x])

그만큼 $1/2 \sec(x) \tan(x)$ 하지만 Mathematica의 로그가 실제로 있다는 것을 증명하기 위해 몇 시간을 보냈습니다. $\ln | \sec(x) + \tan(x) |$, 그리고 나는 그것을 할 수 없습니다! 그만큼$x/2$반각은 나를 위해 일에 스패너를 던집니다. 그들은 나에게 너무 틀린 것 같습니다. 그것은 반각 공식과 같습니다. 제곱을보고 싶은 곳에 제곱근을 얻습니다.

나는 분명한 것을 놓치고 있다고 확신하지만 나는 그것을 볼 수 없습니다!

답변

4 flinty Aug 15 2020 at 22:13

미분하고, 대수를 결합하고, 반각 공식과 항등식을 사용하여 거꾸로 작업합니다. $1+\tan(x)^2 = \sec(x)^2$

FullSimplify[
 D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]
]
(* result: Sec[x]^3 *)

처음 보여 주면 직접 갈 수 있습니다.

FullSimplify[-(-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* Sec[x] *)

위의 결과를 얻으려면 공통 분모에 모두 넣을 때 어떤 일이 발생하는지 살펴보십시오.

Together[-((-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] - Sin[x/2])) + (
  1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* (Cos[x/2]^2 + Sin[x/2]^2)/
 ((Cos[x/2] - Sin[x/2]) (Cos[x/2] + Sin[x/2])) *)

분자는 분명히 1입니다. $\cos(\theta)^2+\sin(\theta)^2=1$ 분모는 $\cos(x)$반각으로. 이것을 보려면 분모를 확장하십시오$d=\left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right) \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)+\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$ 얻기 위해 $d=\cos ^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin ^2\left(\frac{x}{2}\right)$. 그런 다음 우리는$d = 1-2 \sin ^2\left(\frac{x}{2}\right) = \cos(x)$$1/d$ 이다 $\sec(x)$

... 그리고 나머지 파생물에 관해서는 :

FullSimplify[1 - Sec[x]^2]
(* Tan[x]^2 *)

그러므로:

D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]

(* 1/2 (Sec[x]^3 - (-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] + Sin[x/2]) + Sec[x] Tan[x]^2) *)

(* == (Sec[x]^3 + Sec[x] (1 + Tan[x]^2))/2 *)
(* == (Sec[x]^3 + Sec[x]^3)/2 == Sec[x]^3 *)