미분 방정식으로 유추하여 재귀 풀기
이 문제를 발견했습니다.
시퀀스하자 $u_n$ 첫 항으로 정의되다 $u_0 > 0$ 과 $$\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$$ 점근 공식 찾기 $u_n$.
방정식과 유사하게 풀 수 있다고 생각했습니다. $$f' = \frac{1}{f}$$ 점근 공식을 제공합니다 $u_n \sim \sqrt{2 n}$, 그리고 이것은 실제로 정답입니다.
더 일반적으로, 우리는 $u_0 > 0, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + f(u_n)$, 지속적이고 긍정적이며 감소하는 함수의 조건은 무엇입니까? $f$ 미분 방정식과의 유추 방법이 올바른 점근 공식을 제공하도록?
고마워요!
답변
아래 댓글에서 언급했듯이이 답변은 올바르지 않습니다.
한다고 가정 $y$ 미분 방정식에 대한 해결책입니다. $y' = f(y)$, 및 $u_n$ 재발을 해결합니다 $u_{n+1} = u_n + f(u_n)$ 와 $u_0 = y(0)$. 평균값 정리에 따르면$n$, 존재 $c \in [n,n+1]$ 어떤 $y(n+1) - y(n) = y'(c).$ 때문에 $f$ 감소하고 있습니다. $$ f(y(n)) = y'(n) \geq y(n+1) - y(n) \geq y'(n+1) = f(y(n+1)). $$ 자, $w_n$ 만족하다 $w_{n+1} = w_n + f(w_n)$, 및 $w_0 = y(1)$. 우리는 귀납적으로$u_n \leq y(n) \leq w_n$. 특히, 우리는 불평등이$n = k$, 다음 $$ \begin{align} w_{k+1} &= w_k + f(w_k) \geq y(k) + f(w_k) \geq y(k) + f(y(k)) \\ & \geq y(k) + [y(k+1) - y(k)] = y(k+1), \end{align} $$ 그리고 불평등 $y(k+1) \geq u_{k+1}$ 비슷하게 볼 수 있습니다.
이를 통해 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. $f$ 되풀이 $u_{n+1} = f(u_n) + u_n$ 모두에게 동일한 무증상을 가짐 $u_0 > 0$, 시퀀스의 무증상 $(y(n))_{n \in \Bbb N}$ 솔루션에서 생성 $y' = f(y)$ 와 $y(0) > 0$ 동일합니다.