미분 기하학의 유용성
나는 최근에 다음 책을 보았습니다.
- 미분 기하학 및 거짓말 그룹 : 계산적 관점
- 미분 기하학 및 거짓말 그룹 : 두 번째 과정
나는 토폴로지 / 지오메트리 / 분석을 정말 좋아하지만 매우 구체적인 응용 분야에서 일하고 싶기 때문에 그들을 추구 할 계획이 없었기 때문에 그들의 주제는 정말 흥미로 웠습니다. 그러나 나는 회의적입니다. 한때 나는 토폴로지 데이터 분석 (TDA)이 내 관심사의 완벽한 결합이라고 생각했지만, 그 분야가 실제로 컴퓨터 과학에서 사용되고 있다는 증거는 거의 발견되지 않았고, 산업적이거나 더 '실용적인'환경에서는 훨씬 적었습니다. TDA가 수학자를 데이터 과학 세계와 더 관련이 있다고 느끼게 만드는 것 같지만, 그것이 그렇게 만든다고 확신하지는 못합니다 (이 점에서 제가 틀렸다고 생각하면 저를 모순 할 수 있습니다. 관련성에 대한 추상적 인 주장이 아닌 사용 사례). 코딩 이론, 집합 이론의 특정 측면 등에 대한 비슷한 이야기가 있습니다.이론적 관련성이있을 수 있지만 소프트웨어 개발 과정에서 해당 분야를 참조해야하는 상황이 있습니까? 나는 아무것도 모른다.
이제 내 질문 : 미분 기하학을 고급 사용하는 컴퓨터 과학의 실제 분야가 있습니까? 의료 영상, 기타 영상, 컴퓨터 그래픽, 가상 현실 및 기타 일부 분야가 잠재적 인 응용 분야로 떠 오릅니다. 그러나 내 (허용되는 제한적) 경험에서 이러한 영역은 기본 3D 기하학, 수치 선형 대수, 때로는 PDE의 수치 분석을 사용하는 것 같습니다. 그것들은 모두 매우 좋은 주제이지만 미분 기하학만큼 추상적 인 것은 필요하지 않습니다.
미리 감사드립니다.
답변
나는 주로 다음과 같은 응용 하위 분야에서 컴퓨터 과학에 적용된 미분 기하학을 봅니다.
- 컴퓨터 그래픽 / 기하학 처리
- 기계 학습 / 신호 처리
컴퓨터 그래픽 / 지오메트리 처리의 경우 다음을 찾는 것이 좋습니다.
- Keenan Crane의 이산 미분 기하학 과정
- CS 재생 목록을위한 이산 차동 지오메트리
- Discrete Differential Geometry 논문 편집
기계 학습 / 신호 처리의 경우 다음을 찾는 것이 좋습니다.
- 매니 폴드 학습
- 정보 기하학
- 비선형 신호 처리
- 기하학적 딥 러닝
또한 수학 교환 에서이 답변 을 확인하십시오.이 컨퍼런스 미분 기하학은 딥 러닝을 충족합니다.
Btw the Functional Differential Geometry 는 훌륭한 책입니다.
컴퓨터 프로그램의 구조와 해석이 흥미 롭다 는 것을 발견했다면 기능적 미분 기하학 (동일한 저자의 작품)을 좋아할 것 입니다.
미분 기하학은 믿을 수 없을 정도로 간단합니다. 불명확하고 비공식적 인 기호 조작으로 정답을 얻는 것은 놀랍도록 쉽습니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 컴퓨터 프로그램을 사용하여 미분 기하학 계산에 대한 정확한 이해를 전달합니다. 미분 기하학의 방법을 컴퓨터 언어로 표현하면 명확하고 계산적으로 효과적입니다. 방법을 컴퓨터 실행 프로그램으로 공식화하고 해당 프로그램을 디버깅하는 작업은 학습 과정에서 강력한 연습입니다. 또한 절차 적으로 공식화되면 수학적 아이디어는 결과를 계산하는 데 직접 사용할 수있는 도구가됩니다.
Sussman, 지혜 에서 발췌 : 기능적 미분 기하학
요즘에는 "차등"이라는 이름을 가진 모든 분야가 어떻게 든 신경망에 적용됩니다. 예를 들어 차동 기하학의 경우 컴퓨터 그래픽의 차동 렌더링에 대해 생각할 수 있습니다.
현재 저는 Zhang et al.의 "A Differential Theory of Radiative Transfer"논문을 작업하고 있습니다.