모든 적분 상 동성 영역이 유한 한 커버링 공간을 허용합니까?
A 폐쇄 $n$-다양성 $M$라고 필수적인 동성 구의 경우$H_*(M; \mathbb{Z}) \cong H_*(S^n; \mathbb{Z})$. 또한, 우리는$M$ 중요하지 않은 경우 $M$ 동종이 아닙니다 $S^n$.
다음 질문에 관심이 있습니다.
사소하지 않은 모든 적분 상 동성 구체가 유한 연결된 커버링 공간 (자체 제외)을 허용합니까?
사소하지 않은 적분 상 동성 구체의 첫 번째 예는 차원 3에서 발생합니다. 이러한 매니 폴드의 주요 분해에는 비구면 요소 만 포함될 수 있습니다. 위의 질문에 대한 답은 차원 3에서 '예'라는 가상 양수 첫 번째 베티 수 추측에 대한 Ian Agol의 솔루션에서 나온 것입니다.
위의 질문을 순전히 그룹 이론적 용어로 재구성 할 수 있습니다. 그룹이$G$슈퍼 퍼펙트 라고 합니다.$H_1(G; \mathbb{Z}) = 0$ 과 $H_2(G; \mathbb{Z}) = 0$. 적분 상 동성 구체의 기본 그룹은 유한하게 제시된 초 완전 그룹입니다. 반대로, 유한하게 제시된 모든 초 완전 그룹은 Kervaire의 결과에 의해 적분 상 동성 영역의 기본 그룹으로 발생 합니다 . 여기를 참조 하십시오 . 따라서 위의 질문은 다음 질문과 동일합니다.
모든 중요하지 않은 유한 제시 초 완전 그룹에는 유한 인덱스 하위 그룹 (자체 제외)이 포함되어 있습니까?
저의 주요 관심사는 그룹이 비틀림이없는 경우이므로이 경우를 해결할 수있는 답변에 만족합니다.
답변
Higman 그룹은 유한하게 표현되고 매우 완벽하며 (비순환적일 수도 있음) 여기를 참조 하십시오 ( 여기에서 예제 41 참조 ). 적절한 유한 인덱스 하위 그룹을 포함하지 않습니다. Higman 그룹의 표준 프리젠 테이션 콤플렉스는 비구면이므로 그룹은 비틀림이 없습니다 (동 질적 차원이 2 임).