모든 연속 실수 값 함수가 다음에 정의 된 경우 $K$ 묶여 있다면 $K$ 콤팩트하다
실제 분석 섹션 에서 다음 질문을 해결하려고합니다 .
- 허락하다 $K$ 비어 있지 않은 부분 집합 $\mathbb R^n$ 어디 $n > 1$. 다음 중 사실이어야하는 것은 무엇입니까?
(I) 만약 $K$ 간결하면 모든 연속 실수 함수가 $K$ 제한됩니다.
(II) 모든 연속 실수 함수가 정의 된 경우 $K$ 묶여 있다면 $K$ 컴팩트합니다.
(III) 만약 $K$ 컴팩트하고 $K$ 연결되었습니다.
(I)에 대한 증명은 표준입니다. 모순으로 (II)를 보려고합니다.
다음 라인을 따라 (II)에 대한 증명을 구성 할 수 있습니까?
가정 $K \subseteq \mathbb R^n$컴팩트하지 않습니다. 그런 다음 열린 덮개가 있습니다.$\mathcal C$유한 잠수함이 없습니다. 그러나$f: K \to \mathbb R$연속적입니다. (...) 모순.
답변
하위 집합 $\mathbb{R^n}$닫히고 경계가있는 경우에만 압축되며 이는 표준 결과입니다. 이제 모든 연속 실수 값 함수가$K$제한됩니다. 특히, 기능$f(x)=||x||$ 에 묶여있다 $K$, 그 후 $K$ 제한된 집합입니다.
그래서 우리는 $K$닫힙니다. 글쎄, 그렇지 않다고 가정하자. 그렇다면 몇 가지 요점이 있습니다$y\in\overline{K}\setminus K$. 밝히다$f:K\to\mathbb{R}$ 으로 $f(x)=\frac{1}{||x-y||}$. 이것은 제한되지 않은 연속 함수이며 모순입니다.
범위가 제한된 메트릭이 부여 된 실수 인 경우 추가하고 싶습니다. $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$이면 미터법 공간에 대한 문은 참이 아닙니다. $Dom(f)$ Heine-Borel 속성을 만족했습니다.