모든 유한 그룹 찾기 $G$ st for any $a,b\in G$ 어느 한 쪽 $a$ 의 힘이다 $b$ 또는 $b$ 의 힘이다 $a$

Question

모든 유한 그룹 찾기 $G$ st for any $a,b\in G$ 어느 한 쪽 $a$ 의 힘이다 $b$ 또는 $b$ 의 힘이다 $a$

그런 모든 그룹이 $Z_{p^n}$ ...에 대한 $p$프라임, 맞습니까? 나는 먼저 그룹이 가장 큰 순서의 요소를 고려하여 순환되어야 함을 보여주었습니다.$\langle a\rangle$ 모순을 일으키면 $\langle a\rangle\not= G$., 다음 경우 $Z_n$ 와 $n$이 속성이 없습니다. 코 프라임 주문의 두 개의 분리 된 순환 하위 그룹이 있기 때문입니다.

이 올바른지? 모든 그룹이 그런 그룹입니까$Z_{p^n}$?

Answer 1

맞습니다. 음, "분리 된 하위 그룹"과는 별개입니다. 하위 그룹은 "거의 분리"입니다. 즉, 교차가 동일 요소로 축소되지만 문자 그대로 분리 될 수는 없습니다.

Answer 2

예, 복용하면 $a$ 최대의 질서와 모순에 의해 $b\notin\langle a\rangle$, 다음 $a=b^n$ 일부 $n>1$, 그래서 $b$ 주문이 $a$.

따라서 $G$ 주기적입니다.

이제 우리는 순서가 $G$ 주된 힘이어야합니다. "복합"을 제외 할 수 없습니다 (사소한 실수이지만 관련성이 있음).

만약 $|G|$ 두 개의 다른 소수로 나눌 수 있습니다. $p$ 과 $q$, 다음 $G$ 순서의 하위 그룹이 있습니다 $p$ 과 $q$, 그러나 이것들은 사소한 교차점을 가지고 있으므로 그룹은 명시된 속성을 가질 수 없습니다.

순서의 순환 그룹 $p^n$ ($p$ 프라임)에는 명시된 속성이 있습니다.