모두 $A_i$ 다음과 같이 연결된 세트입니다 $\bigcap\limits_{i\in E} A_i \neq \emptyset$ 그때 $\bigcup\limits_{i \in E} A_i$ 연결됨 [중복]

Question

이것은 나의 증거입니다

---

그렇지 않다고 가정하십시오. 그때,$\cup A_i$ 열린 파티션이 있습니다 $\{U,V\}$

$U \subseteq \cup A_i$ 따라서 두 가지 경우 만 표시하면됩니다.

1. $U \subseteq \cup A_j$ 와 $U \neq \cup A_j$ 일부 $J \subseteq E$. 그런 다음 일부가 있습니다$A_k$ 그런 $U \neq A_k$ 와 $U \cap A_k \neq \emptyset$. 그러므로$\{ U \cap A_k,V \cap A_k \}$ 열린 파티션입니다. $A_k$. 가정하면$A_k$연결되었습니다. [$\cup A_i$ 연결이 끊어졌습니다]

2. $U= \cup A_t$ 일부 $T \subseteq E$. 이후$V \neq \emptyset$, 일부가 있습니다 $A_k$ 그런 $(A_k-U) \neq \emptyset$. 허락하다$J=T \cup \{k\}$. 그런 다음 사례 1에서는 [$\cup A_i$ 연결이 끊어졌습니다]

---

괜찮아 ??
잘 모르겠네요 ...

Answer 1

내가 당신의 증거에서 이해하지 못하는 몇 가지가 있습니다. 특히:

1. $U \neq \bigcup_j A_j$ : 통합은 어떤 세트에서 수행됩니까?

2. 케이스 2도 마찬가지입니다. $T$.

나는 단지 다음과 같이 말할 것이다. $$\bigcap_{j \in J} A_j$$ 비어 있지 않아야합니다. $x \in \bigcap_{j \in J} A_j$.

가설에 따르면 $$\bigcup_{j \in J} A_j \subseteq U \cap V,$$ 우리는 일반성을 잃지 않고 가정 할 수 있습니다. $x \in U$ (우리는 역할을 바꿀 수 있습니다. $U,V$ 다른 경우).

이제 모든 $j \in J$, $A_j$ 연결되어 있어야하고 $x \in A_j$. 따라서$A_ j \subseteq U$ 그리고 마지막으로 $$\bigcup_{j \in J} A_j \subseteq U$$ 노조가 연결되어 있음을 증명합니다.