모두를위한 증명 $n \in \mathbb{N}$, $\sum_{k=0}^{n-1}{n+k-1\choose k}\frac 1{2^{n+k}}=\frac12$
$$ \sum_{k=0}^{n-1}{n+k-1\choose k}\frac 1{2^{n+k}}=\frac12$$
솔직히 말해서 시작할 수가 없어요
나는 모든 사람들에게 그것을 해결하는 방법에 대한 아이디어를달라고 부탁하고 싶습니다.
답변
다음과 같이 합계를 다시 작성합니다.$$\sum_{k=0}^{k=n-1}\binom{n+k-1}{n-1}\frac{1}{2^{n+k}}$$
이것은 단지 계수입니다 $x^{n-1}$ 확장 중 $$\frac{{(1+x)}^{n-1}}{2^n}+\frac{{(1+x)}^n}{2^{n+1}}...+\frac{{(1+x)}^{2n-2}}{2^{2n-1}}$$
이것을 GP로 인식하십시오. 따라서 우리는 $x^{n-1}$ 에 $$\frac{1}{2^{n-1}}{(1+x)}^{n-1}\frac{1-{(\frac{x+1}{2})}^n}{1-x}$$
또는 $$\frac{{(1+x)}^{n-1}(1+x+x^2..)-{(1+x)}^{2n-1}(1+x+x^2+x^3....)}{2^{2n-1}}$$ 계수는 $$\frac{\left(\binom{n-1}{0}+\binom{n-1}{1}..+\binom{n-1}{n-1}\right)-\left(\binom{2n-1}{0}+\binom{2n-1}{1}+...\binom{2n-1}{n-1}\right)}{2^{2n-1}}$$ $$=\frac{2^{2n-1}-\frac{1}{2}2^{2n-1}}{2^{2n-1}}=\frac{1}{2}$$
그런데, 제품이의 PMF 같다 합산되는 음 이항 분포 , 즉 갖는까지 반복 공정 동전 넘기는$n$ 머리, 거기 $\frac 12$ 기껏해야 할 확률 $n-1$ 앞의 꼬리 $n$일 머리.
허락하다 $\Pr(A)$ 기껏해야 할 확률이 $n-1$ 앞의 꼬리 $n$일 머리.
그때 $1-\Pr(A)$ 확률은 $n$기껏해야 꼬리가 나타납니다. $n-1$ 머리.
공정한 동전의 경우 머리와 꼬리가 대칭이므로
$$\Pr(A) = 1-\Pr(A) = \frac 12$$