모노 이드가 그룹에 포함되도록하는 일반화 된 취소 속성
컨텍스트 : 모노 이드가 그룹 (서브 모노 이드)에 포함되는 데 필요한 분명한 조건은 왼쪽 및 오른쪽 취소 규칙을 충족하는 것입니다. $$xy=xz \quad\Longrightarrow y=z;$$ $$yx=zx \quad\Longrightarrow y=z.$$쉬운 표준 구조로 교환 모노 이드에 충분합니다. 그러나 일반적으로 MO에서 이미 언급했듯이 충분하지 않은 것으로 알려져 있습니다 ( 이 질문 및 이 질문 참조 ). 그러한 첫 번째 구조는 Malcev 때문입니다. R. Johnson (Proc AMS, link with unrestricted access ) 의이 1969 년 논문에 설명 된 Malcev의 증명 (1936) 은 a 그룹에서 (직접적인) "일반화 된 취소"규칙이 있는지 확인하는 것으로 구성됩니다.
$$ea=db,eb=fa,ec=fb \quad \Longrightarrow \quad eb=dc$$
Malcev의 결과는이 규칙이 실패하는 취소 형 모노 이드를 구성하는 것으로 구성됩니다 (이는 덜 사소한 부분이며 여기서 내 요점이 아닙니다).
위의 동기에 따라 일반화 된 취소 규칙을 다음 형식의 규칙 으로 정의 할 수 있습니다.$$w_1=w'_1,\dots,w'_n=w'_n \quad \Longrightarrow \quad w_0=w'_0$$ 어디 $w_i,w'_i$셀 수있는 알파벳의 음수가 아닌 단어입니다. monoid는 monoid 요소로 문자를 교체 할 때마다 위의 의미를 충족하는 경우이 일반화 된 취소 규칙을 충족한다고합니다.
허락하다 $\mathcal{G}$모든 그룹 이 만족하는 일반화 된 취소 규칙 집합입니다 .
분명히 그룹에 포함되는 모노 이드는 다음의 모든 규칙을 충족합니다. $\mathcal{G}$. 먼저 그 반대에 대해 질문 할 수 있습니다. 모노 이드가 모든 규칙을 충족하는지$\mathcal{G}$, 그룹에 포함됩니까?
대답은 사실 사소한 예입니다! 실제로, 그러한 모노 이드에서 시작하여$M$, 엔 벨로 핑 그룹 정의 $i:M\to G_M$ 명백한 방법으로 (프레젠테이션 : 발전기 = $M$, relators = monoid law). 그때$i$ 주입 적입니다 : 실제로 형식의 모든 관계 $i(m)=i(m')$ 일반화 된 취소 규칙으로 해석 될 수 있으며 결국 $m=m'$.
따라서 공식적인 수준에서 이것은 그룹에 포함되는 모노 이드의 특성화를 제공합니다. 그러나 그것은 절망적으로 비실용적입니다. 내 질문은 다음과 같습니다.
유한 세트 가 있습니까$\mathcal{F}\subset\mathcal{G}$ 모노 이드가 모든 규칙을 충족하는 경우 그룹에 포함되도록 일반화 된 취소 규칙 $\mathcal{F}$?
답변
대답은 '아니오. 일반화 취소 규칙이라고 부르는 것을 범용 대수에서 준 동일성이라고합니다. Malcev는 1939 년에 그룹 삽입 가능한 모노 이드를 정의하거나 그룹에 의해 생성 된 모노 이드의 준 다양성을 정의하는 유사 정체성에 대한 유한 한 근거가 없음을 증명했습니다.
자세한 내용은 Clifford 2 권과 Preston의 고전 텍스트 The Algebraic Theory of Semigroups에서 찾을 수 있습니다. Malcev는 무한한 기초를, Lambek은 다면체를 기반으로 한 기하학적 느낌을 가진 다른 하나를 제공했습니다. 당신이 원하는 정확한 정리는 Clifford와 Preston Volume 2의 Theorem 12.30입니다.